координат, а две другие – по координатным осям. Координаты его вершин таковы: (0, 0); (0, 1); (1, 0); (1, 1). Его граница состоит из четырёх отрезков.

Теперь возьмём единичный куб, одна вершина которого помещается в начале координат, а три другие – по координатным осям. Координаты восьми его вершин таковы: (0, 0, 0); (0, 0, 1); (0, 1, 0); (0, 1, 1); (1, 0, 0); (1, 0, 1); (1, 1, 0); (1, 1, 1). Его граница состоит из шести квадратов.

Иногда бывает удобным называть квадраты двумерными кубами, а отрезки – одномерными кубами.

Четырёхмерный куб имеет 16 вершин. Если поместить одну из них в начале координат, а четыре других – по четырём координатным осям, то, предполагая по-прежнему, что длина стороны равна единице, получим такие координаты вершин: (0, 0, 0, 0); (0, 0, 0, 1); (0, 0, 1, 0); (0, 0, 1, 1); (0, 1, 0, 0); (0, 1, 0, 1); (0, 1, 1, 0); (0, 1, 1, 1); (1, 0, 0, 0); (1, 0, 0, 1); (1, 0, 1, 0); (1, 0, 1, 1); (1, 1, 0, 0); (1, 1, 0, 1); (1, 1, 1, 0); (1, 1, 1, 1). Его граница состоит из восьми трёхмерных кубов.

Сказанное имело, в частности, целью сообщить мыслям читателя некоторую инерцию, с тем чтобы подвести его к понятию трёхмерной сферы, используемому в формулировке проблемы Пуанкаре. (Как видим, инерция мышления – это не всегда плохо.) Продолжим набирать инерцию.

Обычная сфера – это поверхность шара, двумерная, как всякая поверхность. Мы так и будем говорить – двумерная сфера. Из каких точек она состоит? Из всех точек трёхмерного евклидова пространства, находящихся на одном и том же расстоянии от некоторой выделенной точки, называемой центром и сфере не принадлежащей; указанное расстояние называется радиусом сферы. Обозначим координаты центра сферы буквами a, b, c. А если отождествлять точку с набором её координат, то можно сказать, что центр нашей сферы – это точка (a, b, c). Пользуясь формулой евклидова расстояния в трёхмерном пространстве, мы вправе сказать, что двумерная сфера с радиусом r состоит из всех таких точек (x, y, z) трёхмерного пространства, которые удовлетворяют уравнению

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = r².

Трёхмерный шар, ограниченный этой двумерной сферой (он же просто шар в общеупотребительном значении этого слова), состоит из всех таких точек (x, y, z) трёхмерного пространства, которые удовлетворяют неравенству

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² ≤ r².

Если заменить здесь знак ≤ неравенства на знак < строгого неравенства, получим так называемый открытый шар, граница которого (двумерная сфера) удалена. Он состоит из всех таких точек (x, y, z), для которых

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² < r².

Если желают подчеркнуть разницу между шаром, содержащим ограничивающую его сферу, и открытым шаром, первый называют замкнутым.

Давайте теперь поразмыслим, что такое одномерная сфера. Определение строим по аналогии с определением двумерной сферы: одномерная сфера состоит из всех точек двумерного евклидова пространства, находящихся на одном и том же расстоянии, называемом радиусом, от некоторой выделенной точки, называемой центром. Поскольку двумерное евклидово пространство – это не что иное, как плоскость, то ясно, что одномерная сфера – это просто-напросто окружность. Если обозначить радиус буквой r, а координаты центра – буквами a и b, то становится ясным, что одномерная сфера есть множество всех таких точек (x, y) двумерного пространства, которые удовлетворяют уравнению

(x – a)² + (y – b)² = r².

Это и есть знакомое (как мы надеемся) по средней школе уравнение окружности. Окружность ограничивает круг, точки которого удовлетворяют нестрогому неравенству

(x – a)² + (y – b)² ≤ r².

Круг можно назвать двумерным шаром. А как следует назвать множество всех точек плоскости, удовлетворяющих строгому неравенству

(x – a)² + (y – b)² < r²?

Позволю себе высказать убеждение, что читатель уже догадался: это множество называется открытым кругом (или открытым двумерным шаром), а определяемый нестрогим неравенством просто круг называют, чтобы противопоставить его открытому кругу, замкнутым кругом.

Каждая трёхмерная сфера ограничивает четырёхмерный шар. И те и другие недоступны нашему непосредственному наблюдению, и представить их себе в качестве геометрических объектов нам так же трудно, как Василию Ивановичу из анекдота – квадратный трёхчлен. Но всё сказанное до сих пор приходит нам на помощь. Читатель уже сам, без подсказки, мог бы заключить, что трёхмерная сфера состоит из всех точек четырёхмерного евклидова пространства, находящихся на одном и том же расстоянии, называемом радиусом, от некоторой выделенной точки, называемой центром и сфере не принадлежащей. Обозначая радиус буквой r, а координаты центра – буквами a, b, c, d, получаем, что трёхмерная сфера радиуса r состоит из всех таких точек (x, y, z, u) четырёхмерного пространства, которые удовлетворяют уравнению

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² + (u – d)² = r².

А тот четырёхмерный шар (он же замкнутый четырёхмерный шар), границей которого эта трёхмерная сфера служит, состоит из всех таких точек (x, y, z, u) четырёхмерного пространства, которые удовлетворяют неравенству

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² + (u – d)² ≤ r².

Призываем читателя выписать соотношение для точек открытого четырёхмерного шара.

Если же мы желаем тем или иным образом представить себе трёхмерную сферу как «геометрический объект» (а не просто множество числовых четвёрок), как гипертело, то у нас вместе с Василием Ивановичем нет другого выхода, как взять пример с мыслителей Флатландии, которые находятся на передовом крае флатландской науки. Увидеть двумерную сферу непосредственно они не могут – только одномерную, т. е. окружность. Но они пришли к мысли, что в трёхмерном пространстве существуют двумерные сферы. А самые смелые из них допустили даже, что сама Флатландия не плоскость, а двумерная сфера очень большого радиуса (настолько большого, что на ограниченном обитаемом участке Флатландии кривизна незаметна); большинство из этих смельчаков были сожжены на кострах за вольнодумство. Вот так и мы, если уж допускаем четырёхмерное пространство как некую недоступную нам реальность, то допускаем и существование «геометрической» трёхмерной сферы. Не исключено, что все мы как раз и пребываем в трёхмерной сфере, каковой является наша Вселенная. В осознании такой возможности некоторую роль играет результат Перельмана.

Геометрия положения

Все понятия и факты, о которых говорилось до сих пор в этой главе, принадлежали так называемой метрической геометрии, которая основана на понятии расстояния и изучает метрические