и астрономии связываются с именами Фалеса Милетского (640 или 624–546 гг.) и Анаксагора из Клазомен (ок. 500–428 гг.). Традиционно было принято считать, что эти открытия были связаны с определенным набором практических навыков, воспринятых греками от египетских геометров, вавилонских астрономов и финикийских учителей арифметики, однако сегодня эта точка зрения подвергается серьезной критике. Можно предположить, что и сами греки имели собственный запас прикладных вычислений, который, в отличие от восточных жрецов, использовали не для все более и более детального совершенствования вычислительных процедур, а для построения теоретической науки. В результате, и с этим согласны все современные ученые, греческая математика стала качественно отличаться от восточной тем, что ставила не только вопрос «что?», но и «почему?», то есть вооружилась аппаратом математического (логического) доказательства, начиная, конечно, с тех простейших теорем, которые нам известны под именем Фалесовых[646].

Но на подлинную теоретическую высоту математические науки были подняты в V в. Пифагором Самосским и его последователями, пифагорейцами[647]. По замечанию П. П. Гайденко, они «впервые пришли к убеждению, что “книга природы написана на языке математики”, как спустя два тысячелетия выразил эту мысль Галилей». Например, Филолай из Кротона писал: «Все познаваемое, конечно же, имеет число»[648]. Эта школа представляла собой переходное образование от древних форм учительства типа «учитель-ученик» к общеобразовательным центрам Греции типа Академии, Ликея или Мусейона. Пифагор и его ближайшие ученики дополнили две старые математические науки двумя новыми — арифметикой и гармоникой (теоретической музыкой), делая упор на первую. Уже из названий заметно, что γεωμετία и αστρονομία (иначе αστρολογία) — более старые науки, ориентированные еще на термин επιστήμη (тогда имевший смысл «знание»), тогда как αριθμητική (λογιστική), μουσική (ἁρμονική) — более новые, ориентированные на понятие τέχνη (искусство). Переход к позднепифагорейской науке можно связать с выходом первого учебника по математике, реконструированного ван дер Варденом[649]. Из поздних пифагорейцев именно Архит Тарентский, главный специалист по математическим дисциплинам платоновских времен, в своем трактате «О математических науках» перечислил именно эти четыре науки: арифметику, геометрию, гармонику и астрономию. Термин «квадривиум» для этого цикла дисциплин введен только Боэцием. Кроме этих четырех к «математическим» были отнесены еще некоторые другие τέχναι: оптика, механика, геодезия, архитектура и даже врачебное искусство[650], причем отнесены именно по методу, то есть из-за применения в них «математического аппарата», а не по предмету (то же касается и гармоники с астрономией). Поздние пифагорейцы развивали также теорию доказательств. Предполагают, что им принадлежат книги II, IV и значительная часть положений I и III книг из геометрической части «Начал» Евклида, а также VII-VIII и положения 21–34 IX книги из арифметической части.

Помимо пифагорейской, в V в. существовала еще хиосская математическая школа, основателем которой считался Энопид. Зато софисты, за одним единственным исключением, а также Сократ[651] и сократики относились к математическим наукам в целом отрицательно, так как не видели в них житейской пользы.

Платон вывел четыре математические науки в VII книге диалога «Государство»[652], непосредственно после изложения знаменитого мифа о пещере. Речь зашла о том, каким образом отучить людей, в особенности сословие стражей, от рассматривания теней, телесных образов и обратить их души к видению чистого света, то есть к области умопостигаемого, идей. Для этого в качестве промежуточного звена Платон выбирает число, как понятие достаточно отвлеченное от телесного мира. Далее последовательно выводятся четыре науки о числах, которые способствуют такому перевоспитанию души. Здесь, как мы видим, роль математических наук переосмыслена идеологически, так как эти науки из научной самоцели или средства познания мира с целью принесения жизненной пользы превращаются как раз в средство отрыва от сферы чувственно-воспринимаемого и обращения исключительно в сферу идеального. Такой позиции, справедливости ради надо сказать, придерживались только Платон и его ближайшие ученики (Спевсипп, Ксенократ и Филипп Опунтский), но она сильно повлияла на все последующие теории, породив даже в наше время мифы о будто бы существовавшем в Древней Греции резком разделении теоретических наук (возвышенных и вместе с тем принципиально бесполезных для жизненной практики) и прикладных наук (презренных и приниженных, не поднимавшихся выше примитивных обобщений). В теории Платона был свой смысл, ведь она приучала людей к абстрактному мышлению, но в гипертрофированном виде она оказалась гибельна для науки. Христианство в лице Августина («О христианском образовании») и Исидора отчасти перенимает эту позицию, но истолковывает ее на свой лад: постижение всех семи свободных искусств мыслилось как одна из первых ступеней на пути к изучению философии и теологии, то есть на пути души к Богу. Первым из европейских мыслителей, который, изучив семь свободных искусств, осмысленно произнес: «Этого достаточно!», был Данте Алигьери, и с этого началась история Возрождения.

В аристотелевском Ликее (IV-III вв.) был разработан целый историографический проект, который предполагал составление подробных историй развития как теоретического, так и практического знания, каким оно виделось к концу IV в. За основу было взято аристотелевское деление наук на теоретические, «практические» и «поэтические» и, в частности, теоретических на теологию (метафизику), математику и физику. Последней занимался Теофраст из Эреса, первыми двумя — Евдем Родосский, автор сочинений «История теологии», «История арифметики», «История геометрии», «История астрологии». По музыкальным же вопросам специалистом в Ликее был Аристоксен Тарентский. Именно благодаря значительным усилиям этих людей наши знания по греческой математике в ключевой период ее истории достаточно полны[653].

Философские школы раннего эллинистического времени (нач. III — кон. II вв.) утрачивают интерес к математике, следовательно, исчезает ее интегральное восприятие. Поэтому о дальнейшей истории математики имеет смысл говорить уже в связи с конкретными науками и их яркими представителями (см. далее). Из общих особенностей развития наук математического цикла можно отметить следующее. Сама методология греческой математики и все ее течения сложились ко временам Евклида, «Начала» (325 г.) которого содержат все итоги развития математики, а также окончательно сложившийся теоретико-доказательный аппарат. Главным научным центром становится Александрия, а основные открытия делаются в период до середины II в. К этому же периоду относится действительно состоявшееся в Александрии знакомство греческой математики с восточными математическими исследованиями, например Гипсикл (II в.) вводит для измерения угла градусную 60-ричную систему счисления, которую мы употребляем по настоящее время. Общей чертой этого периода стал переход от пифагорейских арифметических методов к так называемой «геометрической алгебре», в русло которой греческих математиков направили как открытие иррациональных чисел, так и апории философов-элеатов, связанные с парадоксами бытовых представлений о бесконечно малых. Это означало, что числа представляли себе в виде отрезков прямых, их квадраты и кубы — в виде