Однако следующий этап развития греческой математики был связан с вышеупомянутой «геометрической алгеброй». Действительно, при том уровне развития науки число √2 могло быть изображено только как диагональ единичного квадрата. К этому надо было добавить блестяще разработанную (Евклидом и его предшественниками) методику геометрического доказательства. Вместе с тем для арифметики такая позиция представляла известную сложность: например, если квадраты чисел представлялись как геометрические квадраты, а сами числа — как отрезки, то как же тогда представить себе квадратный трехчлен x2+px+q. Как можно сложить отрезок с площадью или кубическое тело с площадью? Кроме того, степени ограничивались кубами. Выходы существовали, но были довольно громоздкими. Поэтому на этом этапе арифметические достижения почти не отличимы от геометрических. Мы будем полагать, что арифметика — наука об операциях над натуральными, целыми и рациональными числами, а к геометрии относить операции над числами иррациональными, равно как и «алгебру» того времени (алгебра в узком смысле этого слова — теория решения уравнений n-й степени с рациональными коэффициентами). Среди математиков того времени, внесших вклад именно в арифметику, можно назвать Архимеда из Сиракуз (ок. 287–212 гг.), точнее его сочинение «Псаммит» («О счете песчинок»). Здесь он показывает, как с помощью существовавшей тогда системы счисления можно выражать сколь угодно большие числа, тем самым опровергая мнение о существовании «самых больших чисел». В качестве примера Архимед использует задачу о вычислении количества песчинок внутри видимой Вселенной и легко показывает, что если бы даже мир до самой сферы неподвижных звезд был заполнен только песком, то количество этих песчинок было бы легко оценить и записать в виде числа. Вообще в своих вычислениях Архимед доходит до числа 108∙10^16. Ему же принадлежит аксиома Архимеда, которую он сам приписывает Евдоксу: «Если две величины не равны, то можно столько раз сложить с собой их разность, чтобы она превзошла любую конечную величину». Еще одним достижением этого великого математика стало вычисление сумм некоторых бесконечных сходящихся рядов (впервые!). Другому математику III в., Эратосфену Киренскому (ок. 282–202 гг.), принадлежит способ отыскания простых чисел через отсеивание всех кратных — так называемое «решето Эратосфена»[656].

В последний, римский, период развития греческой науки, как мы сказали, возрождается интерес к числу как арифметическому объекту.

Уже в работах Герона Александрийского (вероятно, I в. н. э.) намечается поворот к арифметизации при изложении различных вычислительных алгоритмов. Он же впервые решает геометрические задачи через уравнения (в «Геометрике»). Обычно этот поворот объясняют влиянием вавилонской традиции, достигшей своего расцвета на рубеже эр.

Кроме того, в это время группой энтузиастов начинает возрождаться пифагореизм, правда философское содержание его позаимствовано, в основном, из Платона. Среди неопифагорейских математиков наиболее известен Никомах из Герасы[657] (р. ок. 100 г. н. э.), который пересказывал пифагорейскую математику по Евклидовым «Началам». Но самым знаменитым арифметиком этого направления и вообще последним греческим математиком был Диофант Александрийский (возможно, сер. III в. н. э.), которого, кстати, иногда считают эллинизированным вавилонянином. Он был известен как создатель первого варианта арифметической символики, отрицательных чисел именно как чисел, а также исследованием так называемых «Диофантовых уравнений», то есть алгебраических уравнений с целыми коэффициентами (или систем таких уравнений), для которых требуется нахождение целочисленных решений (например, 3x+5y=7; x2+y2=z2; 3x2+4y3=5z3 и др.). Книга I «Арифметики» Диофанта — первое известное нам изложение основ алгебры.

В последующем все эти научные достижения получили свое развитие не на христианском Западе, а в трудах ученых арабского Востока IX-X вв. н. э. — ал-Хорезми, ал-Баттани, Абу Камила, Ибн ал-Хайсама и других. И уже через посредство испанских и итальянских переводчиков с арабского греческая математика с середины XII в. н. э. стала появляться в Европе. Массовый перевод греческих математических трактатов на латинский и национальные европейские языки был осуществлен только в XVI в. н. э.

V. Геометрия

Давая краткий очерк развития античной геометрии, мы, как и в предыдущем случае, вынуждены ограничиться только общей периодизацией, главными течениями, основными именами с указанием, кто что открыл. Геометрия, действительно, наука более древняя, чем арифметика, но мы полагаем, что упоминание о вездесущих египтянах скорее является штампом, характерным для античной историографии науки, чем отвечает реальному положению дел. Во всяком случае, с именем первого греческого геометра Фалеса Милетского связывают четыре теоремы, не соотносимые с восточной математикой: 1) о том, что диаметр делит круг пополам, 2) что углы при основании равнобедренного треугольника равны («теорема Фалеса»), 3) что накрест лежащие углы при пересечении двух прямых равны, 4) теорему о равенстве треугольников по двум углам и стороне. Все эти факты элементарны и доказываются взаимным наложением соответствующих фигур. Революционность мысли Фалеса и его последователей состояла именно в том, что он стремился найти доказательства для очевидных фактов. И это был первый камень в основание теории дедуктивных доказательств. Предполагается, что к Фалесу восходит часть положений III книги «Начал» Евклида.

Превращение геометрии в теоретическую науку было, по словам историографа математики Евдема Родосского (вт. пол. IV в.), осуществлено Пифагором[658]. Сам Пифагор, надо полагать, доказал теорему, носящую его имя (вероятно, через сложение формул подобия треугольников, получающихся при опускании высоты из прямого угла на гипотенузу), и построил два первых правильных многогранника (тетраэдр и куб). Пифагорейской школе в целом принадлежит: 1) теорема о равенстве суммы углов треугольника двум прямым углам; 2) теорема о замощении плоскости правильными многоугольниками; 3) теория приложения площадей (изложенная в I-II книгах «Начал»; 4) вся IV внига «Начал»; 5) построение всех пяти правильных многогранников (додекаэдр построил Гиппас, а октаэдр и икосаэдр — Теэтет), которая вошла в XIII книгу «Начал»; 6) создание теории иррациональных чисел (Гиппас, Феодор и Теэтет); 7) написание популярного учебника по геометрии еще в сер. V в., содержащего основы первых четырех книг «Начал» (по ван дер Вардену). Первое дошедшее до нас дедуктивное доказательство находится в поэме «О природе» философа Парменида Элейского (540–480 гг.), и, по мысли Т. Гомперца, заимствовано у пифагорейцев, поскольку сам Парменид был учеником этой школы.

Среди математиков Хиосской школы наиболее известен Гиппократ Хиосский (ок. 440 г.), чей трактат «Начала», посвященный проблеме квадратуры круга с помощью луночек, — первое дошедшее до нас математическое сочинение эллинов. Вообще Гиппократ исследовал площади плоских фигур, ограниченных прямыми и кривыми линиями. Другой представитель этой школы, философ и ученый Демокрит из Абдер[659] (470 или 480–380 или 370 гг.), основываясь на своей атомистической философии, заложил основы того, что