Теперь посмотрим глазами ребенка на царство геометрии, чтобы понять: процесс переписывания понятий на свой внутренний язык не ограничивается словами. Для понимания того, что геометрия не очень ладит со словами, достаточно прочитать определение параллельности: «Параллельными считаются линии, равноудаленные от другой линии или плоскости и не пересекающиеся с ней, независимо от длины». Определение перегружено абстрактными понятиями: линия, плоскость, равноудаленные. В других подобных определениях присутствует понятие бесконечности. Само слово «параллельные» неудобно для произношения. Кому это понравится? Однако когда мы видим несколько пересекающихся линий между параллельными, они сразу же привлекают взгляд. Наша зрительная система формирует интуитивные догадки, позволяющие распознавать геометрические понятия еще до того, как они оформлены в слова.

Трехлетние дети уже могут различить две непараллельные линии среди множества параллельных. Пожалуй, они неспособны объяснить понятие, а тем более назвать его, но они понимают, что эти линии чем-то отличаются. То же самое происходит со многими другими геометрическими понятиями: прямой угол, замкнутые или открытые фигуры, количество сторон, симметрия и так далее.

Есть два простых способа выявить универсальную характеристику, не зависящую от обучения. С одной стороны, можно наблюдать за детьми до того, как они подвергнутся заметному культурному воздействию; с другой – поехать туда, где процесс обучения сильно отличается от наших представлений. Это своеобразная антропология мышления.

В том, что касается математики, одна из наиболее исследованных культур – народ мундуруку, живущий в глубине джунглей бразильской Амазонии. У мундуруку богатая и древняя культура, а их математические представления сильно отличаются от тех, что мы унаследовали от греков и арабов. К примеру, у них нет слов для обозначения большинства чисел. Есть лишь составное слово, обозначающее единицу (пуг ма), двойку (хепхеп), тройку (ебапуг) и четверку (ебадипдип). Кроме того, у них есть слова, обозначающие приблизительное количество, – пуг погби (пригоршня), адесу(немного) и аде ма (довольно много). Иначе говоря, их математический язык больше связан с приблизительными, а не с точными величинами. В нем можно провести различие между «много» и «мало», но нельзя сказать, что девять минус два равно семи. Таких чисел, как 7, 30 или 15, не существует в культуре мундуруку.

Их язык также небогат абстрактными геометрическими терминами. Означает ли это, что в области геометрической интуиции община мундуруку сильно отличается от школьников Бостона? Ответ отрицательный. Психолог Элизабет Спелке обнаружила, что, когда геометрические задачи представлены визуально и без использования языка, дети мундуруку и дети из Бостона показывают сходные результаты при их решении. Задача, легко решаемая ребенком из Бостона, например распознавание прямых углов, окажется простой и для ребенка из племени мундуруку. Более трудные вещи, такие как распознавание симметричных элементов среди несимметричных, оказываются трудными для обеих групп детей.

Математическая интуиция свойственна всем культурам и проявляется с младенческого возраста. Математика построена на догадках о том, что мы видим: большое и малое, близкое и далекое, прямое и кривое. Она связана с движением и пространством. Почти во всех культурах числа имеют линейную прогрессию. Сложение представляет собой движение по этой линии (обычно вправо), а вычитание – такое же движение в противоположном направлении. Многие из этих догадок – врожденные и развиваются спонтанно, без необходимости в формальных инструкциях. Позже формальное образование образует надстройку на комплексе уже сформированных догадок.

При сравнении взрослых жителей Бостона и представителей народа мундуруку, первые более эффективно справлялись с геометрическими задачами. Это подтверждение очевидного факта: если кто-то годами тренирует определенный навык, то становится лучше других в этой области. Но интересно и поучительно, что, хотя образование улучшает нашу способность решать задачи, иерархия трудности решения сохраняется. Самые трудные задачи для взрослых – это те, с которыми они плохо справлялись, когда были детьми.

Итак, когда люди что-то обнаруживают, они анализируют это в соответствии со своей понятийной структурой, основанной на очень ранних (может быть, даже врожденных) догадках. Со временем в ходе обучения мы переживаем концептуальные революции, меняющие организацию наших понятий и наше представление о мире. Но старые интуитивные понятия никуда не уходят. Мы можем проследить этот детский способ решения проблем в зрелом возрасте даже у опытных специалистов в своей области. Проблемы, слабо связанные с интуицией, остаются трудными и утомительными на всем протяжении учебы. Понимание работы этого интуитивного комплекса в человеческом разуме станет эффективным способом улучшить качество обучения наших детей.

Немного раньше я описал обучение как процесс, который переносит рассуждения в зрительную кору головного мозга, чтобы сделать их параллельными, быстрыми и эффективными. Теперь рассмотрим обратный процесс, с помощью которого мы усваиваем символы, описывающие врожденные интуитивные догадки, связанные со зрением.

Мы с Лиз Спелке и Сесилией Калеро изучали, каким образом интуитивные геометрические знания превращаются в правила и слова. Наша теория заключалась в том, что приобретение знаний разделено на два этапа. Первый – догадка; наше тело знает ответ, но не может выразить его словами. Лишь на втором этапе аргументы становятся очевидными, превращаясь в правила, которые мы можем объяснить себе и другим. У нас была и другая теория, рожденная в пустыне Атакама, где Сьюзен Голдин-Мидоу, одна из великих исследовательниц когнитивного развития человека, рассказала нам о необыкновенном открытии, которое она сделала, повторяя старый эксперимент Жана Пиаже.

В эксперименте швейцарского психолога детям показывали ряды камешков и предлагали выбрать тот из них, где камней больше. Фокус заключался в том, что количество камешков оставалось одинаковым, но в одном ряду расстояние между ними было больше, чем в другом. Шестилетние дети, движимые непреодолимой интуицией, путали длину с количеством и постоянно выбирали более длинный ряд.

Сьюзен сделала небольшое, но очень важное открытие, связанное с этим классическим экспериментом. Хотя все дети отвечали, что в длинном ряду больше камешков, между жестами, которыми они сопровождали свои ответы, наблюдалась заметная разница. Одни дети разводили руки в стороны, показывая длину ряда. Другие двигали руками, чтобы установить соответствие между камешками в каждом ряду. Те дети, которые считали руками, фактически обнаружили суть проблемы. Они не могли выразить свое знание в словах, но оно отразилось в языке жестов. Для второй группы детей сократический метод был вполне актуален. Учителю нужно было лишь немного подтолкнуть их, чтобы помочь им выразить в словах уже имеющееся знание. Эта находка стала не просто интеллектуальным курьезом; когда педагоги применяют эту информацию на практике, обучение становится гораздо эффективнее.