механизм выглядит удивительно просто: на линейке отмечают две точки, отдаленные на заданное расстояние, затем в определенное место вставляют гвоздик, прижимают к нему линейку и поворачивают ее так, чтобы две отмеченные точки оказались одновременно на двух заданных кривых.

Для примера рассмотрим задачу о трисекции угла. Пусть имеется некоторый угол α. Построим такой угол β, чтобы α = 3β. Обозначим вершину угла α точкой O и проведем произвольную окружность с центром в этой точке. Лучи угла α пересекут окружность в точках M и P.

Обозначим длину отрезка OM за a. Продлим отрезок OM на некоторое расстояние. Теперь возьмём линейку и отметим на ней отрезок AB длинной a (то есть AB = OM). Далее прислоним линейку к точке P и будем поворачивать линейку так, чтобы точка A оказалась на прямой OM, а точка B на дуге окружности. В результате мы получим угол BAO, равный трети исходного угла α.

Доказать правильность такого решения несложно. Все построенные на чертеже треугольники являются равнобедренными, со сторонами равными радиусу окружности. Кроме того угол PBO = 2β, поскольку является внешним углом треугольника ABO. В треугольнике BPO угол γ = 180-2β-2β=180-4β. С другой стороны угол AOM развернутый, поэтому γ = 180-β-α. Отсюда следует, что α = 3β, а это и требовалось доказать.

Разумеется, мезолябия (как и другие механизмы) давала точные решения лишь в теории, поскольку на практике оказывалось очень трудно выставить пластинки в требуемое положение. Неудивительно поэтому, что греки не удовлетворились подобными техническими средствами и все-таки окончательно ввели в геометрию объемные геометрические места. Вместо пересечения прямых и окружностей теперь рассматривались линии пересечения цилиндров, конусов, шаров и плоскостей, в результате чего возникали кривые высших порядков. Отдельное, не дошедшее до нас сочинение Евклида было посвящено как раз коническим сечениям, которые хоть и не одобрялись Платоном, но имели тогда сугубо теоретическое значение, а потому все-таки считались приемлемыми.

Изначально греки действительно рассматривали пересечения реальных трехмерных фигур, но уже Менехм и Евдокс знали, что во всех рассматриваемых случаях получается несколько вполне определенных кривых, которые можно вычерчивать на плоскости по определенным правилам. По своей сути эти правила являлись аналогом наших современных уравнений. Сложность математических изысканий теперь существенно возросла, однако никто не предполагал, что эти вопросы могут принести когда-нибудь реальную практическую пользу. Лишь в XVII веке Кеплер открыл, что планеты движутся по эллипсам, а Галилей показал, что пушечные ядра летят по параболам. Греки изучали кривые высших порядков исключительно из любознательности или тщеславия, либо же из стремления постигнуть высшие философско-мистические истины. Образованные греки не видели (да и не могли увидеть) вокруг себя ничего, что требовало бы использования всей мощности доступного им математического аппарата. Но коль скоро подходящих для изучения объектов не удавалось отыскать на Земле, эллины обратили свои взоры на небо.

Математические интересы Архимеда

Особый интерес такого рода построения вызывали у Архимеда, который достиг удивительных высот в математических исследованиях. Он, в отличие от Евклида, являлся оригинальным мыслителем, направившим всю мощь своего гения на неустанный поиск новых истин и последующую пропаганду сделанных открытий. При этом Архимеда не волновало обобщение достижений прошлого, поэтому в своих работах он зачастую просто ссылался на уже известные в его время результаты, пропуская при этом часть доказательств.

Труды Архимеда известны нам в основном благодаря тому, что у эллинистических ученых существовала следующая занимательная традиция: математик, которому удавалось открыть новую интересную теорему, не спешил сразу же публиковать результаты, но сперва предлагал коллегам испытать свои силы в поиске доказательства (схожий обычай вновь возникнет у европейских ученых в XVII–XVIII веках). Так, вернувшись из Александрии в родные Сиракузы, Архимед вёл оживленную переписку со своими друзьями из Музея — главой библиотеки Эратосфеном и придворным астрономом Кононом, а позже — с его любимым учеником Досифеем. Последнему, впрочем, ввиду его молодости Архимед уже не предлагал найти доказательства новых теорем самостоятельно, а сразу же сообщал их в полном объеме.

Любимыми разделами геометрии оказались у Архимеда те, которые требовали применения интегрирования, поскольку лишь этот метод еще позволял получать действительно новые знания. Остальное, сколь это позволяли старые средства, было открыто еще до Евклида. Тем не менее, сама процедура интегрирования, как мы помним, была запрещена идеалистической философией, а потому Архимед оказался вынужден перенести в математику некоторые приемы из разработанной им же механики: учение о центре тяжести и закон рычага, которые мы подробно рассмотрим в одной из следующих глав. Подразумевалось, что условное тело как бы нарезается на тонкие пластинки, которые затем каким-нибудь хитроумным способом уравновешиваются на воображаемом рычаге с помощью известного груза. Фактически это было не чем иным, как замаскированным методом атомистов, да еще и многократно усложненным за счет механических построений. Сам Архимед, однако, обладал техническим складом ума, и потому достиг невероятной виртуозности именно в «механическом интегрировании».

В любом случае даже закон рычага не мог скрыть того факта, что в решениях Архимеда тела делились на тончайшие элементы, поэтому механический метод мог тогда считаться пригодным лишь для нахождения новых предварительных результатов, которые затем требовалось строго доказывать. Не вполне ясно, считал ли сам Архимед свои рассуждения логически безупречными, но он точно сомневался, что механические нововведения убедят его коллег.

Хоть и известно, что Архимед многие свои решения находил именно с помощью интегрирования, однако в поздних работах предпочитал вовсе не упоминать о нем, используя классический общепризнанный тогда метод исчерпания с последующим сведением к абсурду. Важным новшеством тут оказалось использование сразу двух достраиваемых фигур — вписанной и описанной. Имея нестрогое атомистическое решение, Архимед показывал, что площадь вписанной фигуры всегда меньше этого решения, а площадь описанной — всегда больше, но при этом разницу между этими площадями можно сделать сколь угодно малой, меньше любой заданной величины. Таким образом, оказывалось, что площадь искомой кривой не может быть ни больше, ни меньше имеющегося решения, поскольку заключена между сближающимися между собой верхней и нижней границами. Некоторым образом такой подход, хоть и неявно, мог подвести читателей к современному нам понятию предела. С другой стороны, Архимед не выделил приведенные рассуждения в отдельную теорему и подробно повторял их для каждого рассматриваемого случая.

Площадь параболы. Геометрическое доказательство Архимеда

Общий математический подход Архимеда легко понять на примере решения задачи об определении площади параболы, которое было в свое время отправлено Досифею. После пожелания здоровья адресату и слов сожаления о кончине Конона следует краткое введение, где сообщается о