длины периода при том же среднем приросте (by), той же абсолютной (Sy(t) и относительной колеблемости (Vy(t)) он автоматически увеличивается из-за накопления изменений за счет тренда.

8.3. Комплексные показатели (критерии) устойчивости

Сущность комплексных показателей заключается в определении их не через уровни динамического ряда, а через показатели их динамики. Так, М.С. Каяйкиной [9] был предложен один из таких показателей (К). Он определяется как отношение среднего прироста линейного тренда у‾ = а + btj, т. е. параметра Ь к среднему квадратическому отклонению уровней от тренда Sy(t):

K = b/Sy(t) (8.15)

Чем больше величина К, тем менее вероятно, что уровень ряда в следующем периоде будет меньше предыдущего. Например, если считать, как и ранее, что распределение колебаний близко к нормальному, то при К = 1 вероятность того, что отклонение от тренда будет не больше прироста (по модулю), составляет F(l) ~ 0,68. Поскольку отклонения от тренда разных знаков одинаково вероятны, можно сказать, что вероятность того, что уровень следующего года (месяца, дня) будет ниже, чем предыдущего, составит: 0,5 — F(t):2 = 0,5–0,34 = 0,16. Если же показатель К составляет только 0,25, то вероятность снижения уровня следующего периода по сравнению с предыдущим составит: 0,5 — F(0,25) = 0,5–0,1974:2 = 0,4013. При отрицательном Ь вероятность снижения уровня становится больше 0,5: так, если Ь = — 0,4 Sy(t), т. е. К= -0,4, вероятность снижения следующего уровня такова:

0,5 — F(-0,4):2 = 0,5 + F(0,4):2 = 0,5 + 0,3108:2 = 0,6554.

Как видим, при К = -0,4 тенденция снижения уровней еще довольно неустойчива.

Рассмотрим показатели такого же рода для экспоненциального и параболического трендов. Основным параметром, характеризующим динамику по экспоненте, служит средний темп роста (коэффициент роста уровней в разах) к уравнения экспоненты:

у~ = акt∙k

величина отвлеченная, притом всегда положительная (знакопеременные уровни здесь не рассматриваются).

Недопустимо сопоставлять темпы с абсолютным показателем колеблемости Sy(t), логично сравнить темпы роста уровней по экспоненциальному тренду с темпами изменения колеблемости. Для этого необходимо построить динамический ряд величин S'y(t) хотя бы скользящим способом и выравнивать его тоже по экспоненте, чтобы определить величину среднегодового темпа (в разах) величины колебаний, т. е. показатель KS(t). Так как для одноразового надежного вычисления показателя колеблемости уже необходимо иметь не менее 11–15 уровней, то для получения динамического ряда Sy(t) и его среднегодового темпа изменения необходим динамический ряд исходных уровней значительной длины (не менее 11–15 плюс еще 9-11), т. е. более 20 уровней, а лучше около или более 30. Далеко не всегда можно получить такой длинный ряд достаточно однокачественных уровней с единым трендом.

Сопоставляя темпы роста уровней ряда с темпами изменения колеблемости, получим показатель опережения:

Qkэ = k‾/k‾Sy(t) (8.16)

Если Qkэ > 1, это свидетельствует, что уровни ряда в среднем растут быстрее колебаний (или снижаются медленнее колебаний). В таком случае, как понятно без доказательства, коэффициент колеблемости уровней будет снижаться, а коэффициент устойчивости уровней повышаться. Если наоборот, колебания растут быстрее уровней тренда и коэффициент колеблемости растет, а коэффициент устойчивости уровней снижается. Таким образом, величина Qkэ определяет направление динамики коэффициента устойчивости уровней.

Параболический тренд y~ = a + bti + cti2 имеет два динамических параметра: среднегодовой прирост Ь и половину ускорения прироста с. Величина Ь в параболе не является константой, и для построения показателей комплексной устойчивости W нужно взять среднюю за весь ряд величину Ь‾. В остальном интерпретация та же, что и для прямой. Второй показатель — половину ускорения с или ускорение прироста 2с — логично сопоставлять уже не с самой величиной колеблемости Sy(t), а с ее среднегодовым приростом bSy(t), полученным по достаточно длинному ряду путем выравнивания показателей Sy(t), скользящих или следующих друг за другом. Имеем показатель

Qc = 2c/bSy(t) (8.17)

Интерпретация показателя Ос такова: если Ос > 1, значит, положительное ускорение (прирост абсолютного прироста уровней) больше, чем прирост среднего квадратического отклонения от тренда. Значит, отношение прироста уровней к среднему отклонению от тренда станет увеличиваться, т. е. показатель К будет возрастать, что свидетельствует о повышении устойчивости динамики тренда. Если Ос < 1, значит, колебания растут сильнее, чем происходит прирост уровней, показатель устойчивости К будет снижаться.

Это общее положение, однако требует конкретизации, так как числитель и знаменатель показателя Ос могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Следовательно, может иметь место восемь возможных сочетаний: четыре — по знакам и два — по величине. Рассмотрим интерпретацию каждого из восьми возможных сочетаний:

1. с > 0; bSy(t) > 0; 2с > bSy(t).

Прирост уровней ряда растет, колебания тоже растут, но медленнее, в результате К увеличивается, т. е. устойчивость тенденции возрастает. Уточним, что при этом не обязательно растут и уровни ряда, так как параметр by может быть и отрицательным, так что часть периода уровни ряда могут снижаться.

2. с > 0; bSy(t) > 0; 2с < bSy(t).

Хотя прирост уровней возрастает (ускоряется), но колеблемость растет еще быстрее, а, значит, показатель устойчивости тенденции К снижается. Это менее благоприятный тип динамики, чем случай 1.

3. с > 0; bSy(t) < 0; 2с > bSy(t).

— очевидная ситуация. Эта комбинация означает, что прирост уровней растет, а колеблемость снижается. Ясно, что при этом показатель устойчивости тенденции К возрастает.

4. с > 0; bSy(t) < 0; 2с < bSy(t).

— нереальная комбинация, третье неравенство противоречит двум первым.

5. с > 0; bSy(t) > 0; 2с > bSy(t).

— также нереальное сочетание по той же причине.

6. с > 0; bSy(t) > 0; 2с < bSy(t).

— очевидная ситуация. Это означает, что прирост уровней снижается, а колебания возрастают. Естественно, показатель устойчивости тенденции уменьшается и за счет знаменателя, устойчивость падает, это самый неблагоприятный тип динамики производства относительно его устойчивости.

7. с < 0; bSy(t) < 0; 2с > bSy(t).

Отсюда следует, что прирост уровней сокращается, но медленнее, чем колеблемость, так как неравенство 2с > bSy(t) понимается по алгебраической величине, а не по модулю, т. е., например, с = -0,05, а 2с > bSy(t) = -0,13, имеем: 2с = -0,1, что больше, чем -0,13. В таком случае показатель устойчивости тенденции К будет возрастать, хотя уровни ряда либо тоже снижаются, либо растут с замедлением, так что для производства это не самый благоприятный тип динамики.

8. с > 0; bSy(t) < 0; 2с < bSy(t).

— также понимается по алгебраической величине.

Прирост уровней снизится быстрее, чем колебания, показатель устойчивости К снижается, тип динамики