к единице, тем меньше колеблемость и соответственно выше устойчивость. Назовем это отношение индексом устойчивости уровней динамических рядов и обозначим:

iУ‾ = У‾благ/У‾неблаг, или iУ‾ = У‾б/У‾н  (8.2)

— отношение средней уровней выше тренда к средней уровней ниже тренда (при тенденции роста).

Например, по данным табл. 5.7 индекс устойчивости уровней валового сбора чая в Китае за 1978–1994 гг. составил 1,02.

При измерении колеблемости уровней исчисляются обобщающие показатели отклонений уровней от тренда за исследуемый период.

Основными абсолютными показателями являются среднее линейное и среднее квадратическое отклонения (см. гл. 6, формулы 6.4; 6.5):

среднее линейное отклонение

среднее квадратическое отклонение

где yi — фактический уровень;

У‾i - выровненный уровень;

n — число уровней;

р — число параметров тренда;

t — номера лет (знак отклонения от тренда).

Эти показатели выражаются в единицах измерения анализируемых уровней и не могут служить для сравнения колебаний различных динамических рядов. Сравнение средних линейных и квадратических отклонений по базам скольжения при многократном аналитическом выравнивании дает информацию о снижении или о повышении устойчивости уровней за период исследования. Аналитическое выравнивание a(t) и Sy(t) и расчет параметров уравнения их трендов позволяют определить количественные характеристики изменения абсолютной колеблемости во времени: среднегодовое изменение, темп изменения. Снижение колеблемости во времени будет равнозначно повышению устойчивости уровней (см. разд. 6.4).

Для характеристики устойчивости (неустойчивости) Д. Бланфорд и С. Оффат рекомендуют следующие показатели [23]:

1. Процентный размах (Percentage Range)

PR оценивает разность между максимальным и минимальным относительными приростами в процентах.

2. Показатель скользящие средние (Moving Average) — МА, который оценивает величину среднего отклонения от уровня скользящих средних:

3. Среднее процентное изменение (Average Percentage Change) — АРС, которое оценивает среднее значение абсолютных величин относительных приростов и квадратов относительных приростов:

Бланфорд и Оффат, анализируя вышеперечисленные коэффициенты, отмечают их хорошую согласованность относительно коэффициента Спирмена.

Относительные показатели колеблемости, чаще всего используемые в статистике, вычисляются делением абсолютных показателей на средний уровень за весь изучаемый период (см. разд. 6.2.2):

коэффициент линейной колеблемости: Vdy(t) = dy(t)/y‾ (8.8)

коэффициент колеблемости: Vy(t) = Sy(t)/y~ (8.9)

где y~ — средний уровень ряда.

Эти показатели отражают величину колеблемости в сравнении со средним уровнем ряда. Они необходимы для сравнения колеблемости двух различных явлений и чаще всего выражаются в процентах. Если Vy(t) — коэффициент колеблемости, то величину

Ку = (100 — Vy(t)) (8.10)

называют коэффициентом, устойчивости. Такое определение коэффициента устойчивости интерпретируется как обеспечение устойчивости уровней ряда относительно тренда лишь в (100 — Vy(t)) случаях. Если Ку составил 0,9, это означает, что среднее колебание составляет 10 % среднего уровня. Однако вероятность того, что отдельное колебание (т. е. отклонение от тренда в отдельном периоде) не превзойдет средней величины колебаний Sy(t), составляет лишь 0,68, если распределение колебаний по их величине близко к нормальному.

Например (см. гл. 6, разд. 6.2.2), коэффициент колеблемости урожайности зерновых культур во Франции за 1970–1995 гг. составил 6,9 %, следовательно, коэффициент устойчивости уровней равен 93,1 %.

8.2. Методы измерения устойчивости тенденции динамики

Наиболее простым показателем устойчивости тенденции временного ряда является коэффициент Спирмена Кр [3, с. 39]:

где d — разность рангов уровней изучаемого ряда (Ру) и рангов номеров периодов или моментов времени в ряду (Pt); n — число таких периодов или моментов.

Для определения коэффициента Спирмена величины уровней изучаемого явления у^ нумеруются в порядке возрастания, а при наличии одинаковых уровней им присваивается определенный ранг, равный частному от деления суммы рангов, приходящихся на эти значения, на число этих равных значений. При наличии дробных рангов необходима поправка к формуле Спирмена:

j — номера связок по порядку (см. нижнюю формулу);

Aj — число одинаковых рангов в j-й связке (число одинаковых уровней).

При малой вероятности совпадения уровней и достаточном их числе эта поправка несущественна.

Коэффициент рангов периодов времени и уровней динамического ряда может принимать значения в пределах от 0 до ±1.

Интерпретация этого коэффициента такова: если каждый уровень ряда исследуемого периода выше, чем предыдущего, то ранги уровней ряда и номера лет совпадают, Кр = +1. Это означает полную устойчивость самого факта роста уровней ряда, непрерывность роста.

Чем ближе Кр к +1, тем ближе рост уровней к непрерывному, выше устойчивость

роста. При Кр = 0 рост совершенно неустойчив. При отрицательных значениях чем ближе Кр к -1, тем устойчивее снижение изучаемого показателя. В рассмотренном ранее ряду динамики урожайности зерновых во Франции за 1970–1995 гг. коэффициент Спирмепа составил 95,62 %.

Коэффициент устойчивости роста (Кр) можно получить и по другой формуле.

Этот вариант расчета несколько сокращает вычисления. Коэффициент Спирмена здесь применен в совершенно новой функции, и его нельзя трактовать как меру связи изучаемого явления со временем. Преимуществом коэффициента корреляции рангов как показателя устойчивости является то, что для его вычисления не требуется аналитическое выравнивание динамического ряда. Это сложная и чреватая ошибками стадия анализа динамики.

Следует иметь в виду, что даже при полной (100 %) устойчивости роста (снижения) в ряду динамики может быть колеблемость уровней, и коэффициент их устойчивости будет ниже 100 %. При слабой колеблемости, но еще более слабой тенденции, напротив, возможен высокий коэффициент устойчивости уровней, но близкий к нулю коэффициент устойчивости изменения.

Например, коэффициент устойчивости уровней урожайности картофеля в России за 1982–1997 гг. составил 0,919, а коэффициент устойчивости (снижения) тренда — только -0,612. Устойчивого тренда нет.

Обычно эти показатели изменяются совместно: большая устойчивость уровней наблюдается при большей устойчивости изменения.

Недостатком коэффициента устойчивости роста Кр является его слабая чувствительность к изменениям скорости роста уровней ряда, он может показать устойчивый рост при незначительно отличающихся от нуля приростах уровней.

В качестве характеристики устойчивости изменения можно применить индекс корреляции:

где Уi — уровни динамического ряда;

у‾ — средний уровень ряда;

у‾i — теоретические уровни ряда.

Индекс корреляции показывает степень сопряженности колебаний исследуемых показателей с совокупностью факторов, изменяющих их во времени. Приближение индекса корреляции к 1 означает большую устойчивость изменения уровней динамического ряда.

Сравнение индексов корреляции по разным показателям возможно лишь при условии равенства числа уровней. Так, с ростом