Итак, исключив два нереальных сочетания из восьми, получим при параболическом тренде шесть типов динамики устойчивости, из них типы 1 и 3 благоприятные для производства, 2 и 7 благоприятны в одном отношении, но неблагоприятны в другом, а типы 6 и 8 явно неблагоприятны относительно устойчивости.

Еще раз подчеркнем, что для надежного определения всей предлагаемой системы показателей устойчивости при параболическом тренде необходим достаточно длинный динамический ряд — не менее 20 уровней при едином типе тенденции. При более коротких рядах следует ограничиться показателями, не требующими оценки тенденции динамики колебаний bSy(t).

Глава 9. ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ КОМПЛЕКСА ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ ПРИЗНАКОВ

В предыдущих главах рассматривалась динамика одного признака, выраженного тем или иным показателем, но фактически наука и практика всегда имеют дело не с изолированными признаками, а с их системами, жестко связанными функциональной либо корреляционной связью. В данной главе будут последовательно рассмотрены методики анализа таких систем признаков, а также свойства трендов и колеблемости при агрегировании объектов по совокупности, описаны связи, особенно корреляционные, в динамике. Все эти проблемы на порядок сложнее ранее изложенных и ввиду ограниченности объема учебника могут быть изложены только очень кратко. Желающим глубже изучить проблемы анализа и прогнозирования систем взаимосвязанных признаков рекомендуется обратиться к специальной литературе [1, 5, 6, 10, 14, 16, 18, 21].

9.1. Динамика жестко связанной системы признаков (показателей)

Насколько нам известно, в полном объеме динамика жестко связанной системы в нашей литературе впервые описана Л.Н, Кривенковой в диссертации, защищенной при Санкт-Петербургском университете экономики и финансов[22]. Изложение материала начнем с конкретной задачи: необходимо рассмотреть тенденции и колеблемость трех функционально взаимосвязанных признаков: площади посева зерновой культуры, ее урожайность и валовой сбор зерна (табл. 9.1). Если площади в разные годы обозначим как ni урожайность — yi, валовой сбор — bi, то имеем функциональную связь: bi = Пi∙yi, справедливую для каждого года (ошибки регистрации не принимаем во внимание). Для соблюдения жесткости связи численные значения округлим до целых (табл. 9.1). Тренды площади и урожайности берем линейные.

Тренд площади: П^i = 120 + 5ti, t = 0 в пятом периоде от начала ряда.

Тренд урожайности: У^i = 29 + ti, t = 0 в пятом периоде от начала ряда.

Тренд валового сбора: b^i = 3472,2 + 264,3ti + 4,94ti2, t = 0 в пятом периоде от начала ряда.

Сначала рассмотрим взаимосвязь трендов в случае, когда колеблемость отсутствует. Тогда валовой сбор каждого года является произведением уровней трендов площади и урожайности, которые совпадают с фактическими уровнями площади и урожайности, т. е. имеет место равенство:

b^i = П^i∙yi = bi, а вектор валового сбора представлен в табл. 9.2.

Как видим, тренд валового сбора при отсутствии колебаний площади и урожайности был бы параболой II порядка с параметрами: B^i = 3480 + 265t +5t2.

(Напомним, что параметр с — это половина ускорения; параметр Ь — средняя по всем периодам величина среднего абсолютного прироста; параметр а — уровень тренда в период с нулевым значением ti).

Уравнение тренда валового сбора с уравнениями трендов площади и урожайности при условии отсутствия колебаний связано так же, как сам показатель валового сбора с показателями площади и урожайности.

Тренд признака-произведения есть произведение трендов признаков-сомножителей. если колеблемость равна нулю:

Ь^ = П^∙у^ = (120 + 5t)∙(29 + t = 120∙29 + 5t∙29 + 120t + 5t∙t = 3480 + (145 +120)t + 5t2,

что точно совпадает с ранее полученным по ряду уровней самого валового сбора уравнением его тренда. Полученный результат полностью соответствует логике взаимосвязи показателей и кажется тривиальным. Однако фактический тренд валового сбора по данным табл. 9.1 вовсе не соответствует этой логике, т. е. тренд валового сбора при наличии колеблемости площади и (или) урожайности уже не равен произведению трендов площади и урожайности. Парабола II порядка, вычисленная по данным ряда валового сбора табл. 9.1, имеет вид:

B^i = 3472,2 + 264,3ti + 4,9ti2.

И если в данном примере расхождения параметров невелики, то при более сильной колеблемости они могут оказаться уже значительно большими. Главный результат наших исследований состоит в том, что установлен факт несовпадения тренда произведения с произведением трендов сомножителей.

Следующая наша задача — теоретическое объяснение этого факта. Введем обозначения: Xi и Zi — фактические значения уровней временных рядов признаков-сомножителей; X^i, Z^i — их трендовые значения; y^i — трендовые значения признака-произведения; yi — его фактические уровни. При этом имеется точное равенство: yi = Xi∙Zi. Тренды X^i, Z^i полагаем линейными, следовательно, тренд y^i — парабола II порядка. Будем также для упрощения записи вести отсчет номеров периодов времени ti от середины временных рядов. Фактические уровни признаков можно представить как сумму уровня тренда и отклонения от него, обозначаемого соответственно Uxi, Uzi, Uyi, так что

xi = x^i + Uxi; zi = z^i + Uzi; yi = y^i + Uyi.

Так как

yi = xizi, то yi = (x^i + Uxi)∙(z^i + Uzi). (9.1)

Рассмотрим произведение трендов сомножителей:

x^i∙z^i = (x‾ + bxti)∙(z‾ + bzti) = x‾∙z‾ + x‾bzti + z‾bxti + bxti∙bzti = x‾∙z‾+ (x‾bz + z‾bx)∙ti + bxbzti2 (9.2)

Уравнение (9.2) есть уравнение параболы 11 порядка, в котором свободный член равен произведению средних величин признаков-сомножителей, он же — средняя величина признака-произведения у‾. Второй член — это средний абсолютный прирост признака-произведения за период, а третий член — половина ускорения признака-произведения. Эти результаты не новы, но следует твердо усвоить, что при равномерном росте (изменении) признаков х и z их произведение у изменяется не равномерно, а с ускорением. Если изменения признаков-сомножителей имеют одинаковые знаки, то это ускорение — положительная величина; если изменения признаков имеют разные знаки, ускорение их произведения — отрицательная величина. При наличии более двух сомножителей тренд их произведения будет параболой более высокого порядка со значительно сложным поведением, в данном учебнике подробно не рассматривается.

Упомянем все же, что