каждого из сомножителей, а при обратной и существенной связи колебаний сомножителей колеблемость признака-произведения будет в среднем слабее, чем колеблемость сомножителей;

2) при слабой связи между колебаниями сомножителей колебания признака-произведения приблизительно такие же, как колебания сомножителя с наибольшей колеблемостью по величине коэффициента V(t),

3) ввиду случайного распределения колебаний сомножителей во времени для изучения их связи необходимо рассмотреть достаточно длинные ряды, не менее 13–15 уровней в каждом.

9.2. Агрегирование трендов и колебаний по совокупности объектов

9.2.1. Тренды объемных признаков

Рассмотрим проблему соотношения тренда и колеблемости по совокупности объектов (например, тренда и колеблемости валового сбора по району в целом) и соотношения трендов и колебаний того же показателя в каждой единице совокупности (по каждому хозяйству). Иначе говоря, в отличие от мультипликативной системы, представленной в разд. 9.1, рассмотрим аддитивную систему.

Эта проблема в нашей статистической литературе рассматривалась очень кратко для частного случая И. Поповой [13, с. 57–61] ив общем случае В.Н. Афанасьевым [2].

Сначала обсудим проблему агрегирования трендов объемных признаков, например валового сбора. Очевидно, что каждый уровень признака по совокупности хозяйств равен сумме валовых сборов всех единиц этой совокупности:

Xi = Σkj=1xj.

Средний уровень за ряд лет по совокупности — свободный член линейного тренда — равен, следовательно, сумме свободных членов линейных трендов валового сбора по всем единицам совокупности.

Далее покажем, из чего складывается среднегодовой прирост валового сбора по совокупности:

где j — номера единиц совокупности.

Следовательно, средний абсолютный прирост тренда по совокупности в целом равен сумме средних абсолютных приростов по всем единицам совокупности. Таким образом, теорема агрегирования для линейных трендов доказана.

Для параболических трендов средний абсолютный прирост совпадает с таковым для прямой, доказательство уже имеется. Система уравнений МНК для других параметров параболы по совокупности в целом имеет вид:

Подставляя в правые части

Xi = Σkj=1xij.

имеем

Решая эту систему уравнений, получаем:

Вторая скобка не содержит величины признака Хij и в рассмотрении не нуждается. Первая скобка преобразуется в следующее выражение:

что после деления каждого из у слагаемых на вторую скобку дает

Σkj=1Cj.

т. е. квадратический параметр параболы по совокупности в целом равен сумме квадратических параметров по всем единицам совокупности. Свободный член параболического тренда по совокупности А вычисляем после нахождения С по формуле

Таким образом, свободный член параболы по совокупности в целом равен сумме свободных членов уравнений трендов по всем единицам совокупности. Доказана и теорема сложения для параболических трендов. Разумеется, если по части единиц совокупности тренды линейные, а по другим единицам — параболические, то и в этом случае соблюдается правило суммирования трендов. Прямую можно считать частным случаем параболы при пулевом ускорении.

В случае экспоненциальных трендов по каждой единице совокупности тренд по совокупности в целом также является экспонентой, коэффициент роста которой к является не постоянной, а переменной величиной, в каждом периоде равной средней арифметической взвешенной из индивидуальных темпов к у по величине уровней предыдущего периода. С течением времени общий темп роста по совокупности асимптотически приближается к величине темпа роста, являющегося наибольшим из всех индивидуальных темпов, так как уровень признака у единицы совокупности с наибольшим темпом роста со временем становится преобладающим в совокупности, его доля стремится к единице. Разумеется, теорема сложения трендов к экспонентам неприменима. Она заменяется теоремой усреднения трендов, которую здесь излагать не будем.

9.2.2. Тренды качественных признаков

Более сложная проблема — агрегирование трендов качественных признаков, таких, как урожайность, производительность труда, коэффициент рентабельности и т. д. Очевидно, что величина каждого уровня качественного признака по совокупности в целом есть средняя взвешенная арифметическая величина, из значений данного признака по единицам совокупности; весами являются значения объемного признака — знаменателя изучаемого качественного показателя; для урожайности — это площадь посева.

Кратко изложим результат исследования, начиная с простейшего случая: при постоянстве весов, т. е. постоянном распределении площади (весового признака) между единицами совокупности, параметры тренда урожайности по совокупности в целом (для всех парабол, включая прямую линию) есть средние взвешенные на доли единиц совокупности в общей площади параметры из всех трендов по каждой единице:

А = a‾; В = Ь‾. Таким образом, тренд урожайности по совокупности хозяйств есть средняя величина, состоящая из трендов по отдельным хозяйствам. При малой колеблемости долей хозяйств в общей площади культуры по совокупности тренд урожайности в совокупности будет приблизительно равен среднему взвешенному тренду отдельных хозяйств. При существенных изменениях в распределении площадей между хозяйствами с разными трендами общий тренд урожайности по совокупности уже не будет равен среднему из трендов по хозяйствам.

Если бы число единиц совокупности было достаточно большим, а изменения их долей в общем объеме признака-веса были случайными, не связанными или слабо связанными с уровнями урожайности и со скоростями ее изменения в отдельных хозяйствах, то, в силу закона больших чисел, параметры тренда урожайности по совокупности в целом в вероятностном смысле приближались бы к их математическому ожиданию, т. е. к среднему из всех индивидуальных трендов. Насколько реальное изменение площадей в совокупности хозяйств отвечает этим условиям, необходимо конкретно исследовать в каждой отдельной задаче.

9.2.3. Агрегирование показателей колеблемости

Ранее доказано, что каждый фактический уровень объемного признака Xi по совокупности в целом равен сумме уровней этого признака для всех единиц совокупности:

Xi = Σkj=1xji.

Точно так же каждый уровень тренда X^i по совокупности есть сумма уровней трендов по единицам совокупности:

X^i = Σkj=1x^ji.

Тогда и каждое отклонение от тренда по совокупности в целом:

Ui = Xi — X^i = Σkj=1xji — x^ji = Σkj=1uij

Квадрат отклонения в i-м году от тренда по совокупности в целом равен:

сумма квадратов отклонении по совокупности в целом:

Формула (9.5) означает, что сумма квадратов отклонений уровней признака по совокупности от их тренда равна сумме по годам сумм по единицам совокупности квадратов их отклонений от своих трендов плюс удвоенная сумма произведений отклонений за тот же год уровней для разных единиц совокупности от своих трендов. Эта последняя удвоенная сумма парных отклонений по всем (сочетание из к по