приведённых примерах служили последовательно множество возможных ростов, множество возможных весов, множество всех людей, множество всех цветов, множество всех существительных, множество всех окончаний, множество всех слов некоторого языка. А областями прибытия – множество возможных весов, множество возможных ростов, множество всех цветов, множество всех людей, множество всех окончаний, множество всех существительных, множество всех слов некоторого языка[118].

Чтобы задать соответствие, недостаточно, конечно, указать область отправления и область прибытия; надо ещё указать, какие элементы области прибытия каким элементам области отправления соответствуют. Если взять наугад какой-то элемент a из области отправления и какой-то элемент b из области прибытия, то элемент b, конечно, может и не соответствовать элементу a. Чтобы указать, какие элементы каким соответствуют, надо, следовательно, из всех пар <a, b>, где a – элемент области отправления, а b – элемент области прибытия, выделить такие, в которых b соответствует a. Для этого достаточно, очевидно, указать множество таких «хороших» пар. Заданием этого множества (вместе с заданием областей отправления и прибытия) соответствие полностью определяется. Поэтому соответствие естественно определить (как это и делается при уточнении этого понятия в математике) просто как тройку множеств: область отправления, область прибытия и некоторое множество пар элементов из этих областей (первый член пары должен быть из области отправления, а второй – из области прибытия). Поскольку пары и тройки суть просто частного вида кортежи, понятие соответствия оказывается выраженным через понятие множеств и понятие кортежа.

Функция

Само слово «функция» встречается уже в школьном курсе математики. Однако расшифровка этого слова оказывается не таким простым делом, поскольку, как можно заметить, слово «функция» употребляется в несколько различающихся смыслах.

В обычной, классической, математике известны два основных направления, по которым происходит осмысление понятия функции[119]. Первое направление – исторически более раннее и, пожалуй, даже сейчас более распространённое – ориентировано в основном на традиционно трактуемые технические и естественно-научные приложения математики и опирается на понятие переменной величины; второе – более современное и более точное – не использует этого понятия вовсе (в то же время второе направление способно обслужить как все традиционные приложения математики, так и ещё много новых, возникших за последнее время).

Первое направление. Именно первое направление отражено, например, в Большой Советской Энциклопедии (3-е изд.), где статья «Функция»[120] начинается со следующей дефиниции: «Функция – одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одних переменных величин от других».

В рамках данного направления, в свою очередь, можно выделить два подхода, первый из которых (опять-таки более ранний и, возможно, более распространённый) скорее соответствует точке зрения физиков, второй – точке зрения математиков[121].

Первый подход состоит в истолковании функции как переменной величины. Именно такое истолкование принято в средней школе. «Та переменная величина, числовые значения которой изменяются в зависимости от числовых значений другой, называется зависимой переменной, или функцией этой другой переменной величины»[122]. Подобное определение функции принято и в ряде авторитетных вузовских учебников[123], и в Большой Советской Энциклопедии, где следующая за дефиницией фраза в только что упоминавшейся статье «Функция» гласит: «Если величины x и y связаны так, что каждому значению x ответствует определённое значение y, то y называют (однозначной) функцией аргумента x». Как видно из исторического обзора в конце названной статьи, аналогичные формулировки встречались ещё в XIX в. и восходят к ещё более ранним представлениям.

Второй подход состоит в истолковании функции как закона, но также связанного с понятием переменной величины (и с разделением переменных величин на «зависимые» и «независимые»): «Закон (правило), по которому значениям независимых переменных отвечают (соответствуют) значения рассматриваемой зависимой переменной, называется функцией»[124].

Приведённые формулировки нельзя, конечно, считать отчётливыми. Для их уточнения требуется предварительное создание достаточно нерасплывчатой системы представлений о переменных величинах. Создание такой системы если и возможно, то, по-видимому, лишь на основе использования в качестве исходных таких понятий, как 'величина' и 'изменение во времени'[125], т. е. вне рамок теоретико-множественной концепции.

Второе направление. Принципиально иной путь связан с отказом от переменных величин. Он приводит к более широкому понятию функции, поскольку разрешает рассматривать функции не только от «величин» (заметим вскользь, что попытки уточнить, что такое «величина вообще», приводят к значительным трудностям). В рамках этого второго направления можно опять-таки различить несколько подходов, а точнее, по меньшей мере три. Первый подход определяет не самоё функцию, а лишь, так сказать, «функциональную ситуацию», т. е. ситуацию, при которой разрешено говорить, что имеет место функция; второй подход трактует функцию как правило или закон, третий – как соответствие.

Первый подход характерен для руководств по теории множеств и общей теории функций. Вот, например, что говорит о функции П. С. Александров в уже цитировавшейся нами книге[126]:

Если каким-нибудь образом каждому элементу x некоторого множества X поставлен в соответствие определённый элемент y некоторого множества Y, то мы пишем f: X → Y и говорим, что имеется отображение множества X во множество Y или функция f, аргумент которой пробегает множество X, а значения принадлежат множеству Y.

А. Н. Колмогоров и С. В. Фомин пишут:

В [математическом] анализе понятие функции вводится следующим образом. Пусть X – некоторое множество на числовой прямой. Говорят, что на этом множестве определена функция f, если каждому числу x ∈ X поставлено в соответствие определённое число y = f (x). При этом X называется областью определения данной функции, а Y – совокупность всех значений, принимаемых этой функцией – её областью значений.

Если теперь вместо числовых множеств рассматривать множества какой угодно природы, то мы придём к самому общему понятию функции, а именно: пусть M и N – два произвольных множества. Говорят, что на M определена функция f, принимающая значения из N, если каждому элементу x ∈ M поставлен в соответствие один и только один элемент из N. Для множеств произвольной природы (как, впрочем, и в случае числовых функций) вместо термина «функция» часто пользуются термином «отображение», говоря об отображении одного множества в другое[127].

Как мы уже говорили, приведённые (и широко распространённые подобные им[128]) формулировки оставляют само понятие функции неопределяемым. Здесь определяется не что такое функция, а лишь некоторое правило употребления этого термина. Что же такое функция и когда о двух функциях можно говорить как об одной и той же функции – это остаётся неопределённым. Разумеется, такая точка зрения вполне правомерна[129].

Однако правомерно и стремление определить самоё функцию (причём не используя понятия переменной величины). Попытки определить функцию как правило или закон[130], посредством которого для каждого