элемента одного множества указывается некоторый элемент второго, приводят к потребности уточнить, что такое правило или закон. Такие уточнения приводили до сих пор к слишком узким классам функций, как, например, классу вычислимых функций, когда слово «закон» уточняется посредством понятия алгоритма. Попытки же найти слову 'закон' максимально общее уточнение оказываются – и, по-видимому, неизбежно (во всяком случае, при наших сегодняшних представлениях) – связанными с необходимостью максимально широко и одновременно совершенно отчётливо очертить язык (или языки) записи законов, что вряд ли когда-нибудь удастся; считать же понятие «закон» первичным и неопределяемым вряд ли целесообразно.

Наиболее законченное представление о функции заключается в рассмотрении её как соответствия. «Функция… определённая на множестве M, есть не что иное, как просто соответствие f различным элементам множества M некоторых элементов (различных или тождественных) множества N»[131]. Или более точно: «В самом общем смысле (однозначная) функция… это соответствие, в силу которого каждому элементу x некоторого множества X отвечает единственный элемент y некоторого множества Y»[132]. Если понимать соответствие так, как мы условились выше его понимать, и считать, что в приведённой только что формулировке X и Y служат областью отправления и областью прибытия соответствия, то станет очевидным, что эта формулировка выделяет функцию – среди прочих соответствий – посредством следующего требования: каждому элементу области отправления должен соответствовать ровно один элемент области прибытия. Именно такое определение функции – как соответствия (понимаемого как тройка множеств), при котором каждому элементу области отправления соответствует ровно один элемент области прибытия – принято в «Началах математики» Н. Бурбаки[133].

Можно теперь сделать шаг в сторону обобщения, потребовав меньшего, а именно потребовав, чтобы в случае функции каждому элементу области отправления соответствовало не более одного элемента области прибытия. Так, если рассматривать функции действительного переменного, т. е. функции, у которых область отправления и область прибытия совпадают каждая с множеством действительных чисел:

1. Функция y = x² каждому действительному числу a ставит в соответствие ровно одно действительное число a2;

2. Функция y = √x каждому неотрицательному действительному числу a ставит в соответствие ровно одно действительное число √a, а любому отрицательному действительному числу ничего не ставит в соответствие.

По твёрдому убеждению автора этих строк, именно такие соответствия, в которых каждому элементу области отправления либо соответствует ровно один элемент области прибытия, либо не соответствует ничего, и должны именоваться функциями. Те из функций, у которых каждому элементу области отправления непременно что-то соответствует, надлежит, как это и принято, называть всюду определёнными, или тотальными.

В приведённых выше примерах соответствий лишь пример 3 даёт функцию (если считать, что у каждого нелысого человека вполне определённый цвет волос).

Отношение

Последним из начальных понятий нашего списка является понятие отношения. Начнём с примеров. Говорят об отношении родства среди людей, об отношении 'меньше' среди чисел, об отношении старшинства среди военнослужащих, об отношении синонимии среди слов в лексике, об отношении паразитирования среди животных, об отношении совместимости среди групп крови, об отношении подобия среди геометрических фигур, об отношении согласования и отношении подчинения среди слов в предложении.

Мы видим, что каждый из этих примеров устроен следующим образом: имеется некоторое множество (людей, слов, фигур и т. д.), и для любой пары элементов из этого множества указано, находится ли первый член этой пары в данном отношении ко второму или нет. (Например, для каждой пары военнослужащих указано, является ли первый из них старшим по отношению ко второму. Для каждой пары чисел указано, является ли первое из них меньшим, чем второе.) Причём из рассмотрения не исключаются пары, у которых первый и второй члены совпадают. (Так, для любой пары, составленной из совпадающих чисел, указано, что первый член пары не находится в отношении 'меньше' ко второму. Для любой пары, составленной из совпадающих геометрических фигур, указано, что первый член находится в отношении подобия ко второму.)

Чтобы задать отношение, достаточно, следовательно, задать некоторое исходное множество пар его элементов – «график отношения», состоящий из тех пар, у которых первый член находится в рассматриваемом отношении ко второму. Естественно поэтому само отношение отождествить с парой, составленной из его графика и его области задания. Такое отождествление и принято нами в качестве определения понятия 'отношение'. Отношение, следовательно, есть пара, составленная из двух множеств, причём элементами первого из этих множеств служат некоторые пары элементов второго.

Для простоты мы ограничились здесь двуместными, или бинарными, отношениями. А вот пример трёхместного, или тернарного, отношения: для любой тройки точек осмыслен вопрос, расположена ли вторая из них между первой и третьей; если, например, точки не лежат на одной прямой или две из них совпадают, ответ будет отрицательным.

Из книги «Что такое аксиоматический метод?»

§ 1. Что такое аксиомы?

Аксиоматический метод – это такой способ построения какой-либо математической теории, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения теории, называемые теоремами, доказываются на основе этих аксиом путём чисто логических рассуждений. Те выражения из предыдущей фразы, которые были выделены курсивом, а именно аксиомы, теоремы и чисто логические рассуждения, будут разъяснены далее.

Начнём с аксиом. Возникают естественные вопросы: что такое аксиомы, откуда они взялись, зачем они нужны? Чтобы ответить на них, нам придётся выйти за пределы чистой математики и вступить в области, пограничные между математикой и философией.

В естественных науках многие факты обосновываются экспериментально, т. е. посредством проведения эксперимента (экспериментом называется научно поставленный опыт). Возьмём, например, такой медицинский факт: анальгин производит обезболивающее и жаропонижающее действие. Этот факт обосновывается многочисленными экспериментами: анальгин давали людям, имевшим повышенную температуру или испытывавшим боль, после чего температура у них понижалась, а боль уменьшалась. Или такой ботанический факт: деревья, имеющие хвою, имеют и шишки. Этот факт обосновывается многочисленными наблюдениями над хвойными деревьями. Или растворимость поваренной соли в воде – каждый может убедиться, что эта соль растворима в воде, на собственном опыте. В физике свойство равноускоренности свободного падения неоднократно проверялось открывшим это свойство Галилеем и его современниками.

Другое дело – теоремы геометрии. Предположим, что мы хотим обосновать тот факт, что у двух треугольников, у которых равны две стороны и угол между ними, равны и третьи стороны. Что мы должны делать? Конечно, мы можем поставить опыт: взять какие-либо два треугольника, удовлетворяющие сформулированному требованию, и убедиться в том, что их третьи стороны действительно равны. Однако может ли этот опыт служить достаточным обоснованием интересующего нас факта? А ну как равенство третьих сторон имеет место только для выбранной нами пары треугольников, а для