том, что геометры прошлого (очевидно, имеются в виду атомисты и их последователи) часто пользовались вряд ли убедительными предпосылками, а потому большинство ученых не приняли предлагаемых этими геометрами решений для площадей различных фигур. Далее Архимед приводит другую посылку «излишек, на который одна площадь превосходит другую, будучи прибавляем к самому себе, может в итоге стать больше любой данной площади» и перечисляет полученные с ее помощью решения, чья истинность общепризнана. Этой посылки, утверждает Архимед, оказалось достаточно, чтобы установить следующий новый факт: сегмент, ограниченный прямой линией и сечением прямоугольного конуса (термина «парабола» еще не существовало), равновелик четырем третям треугольника, имеющего такие же основание и высоту. К письму было приложено обстоятельное доказательство, осуществленное двумя способами: геометрическим и механическим.

Вероятнее всего, первоначально Архимед использовал те самые «неубедительные» предпосылки атомистов, чтобы представить параболический сегмент и построенный на нем треугольник в виде множества плотно прилегающих друг к другу линий. Такой подход позволил ему получить искомое решение, но в отправленном Досифею доказательстве об этой части своей работы Архимед умалчивает.

Приведем сперва геометрический способ доказательства, как наиболее наглядный, хотя в самом тексте Архимеда этот вариант дается после механического. Пусть имеется парабола AOB и прямая AB, отделяет от нее сегмент. Ниже будет рассмотрен простейший вариант симметричного сегмента параболы, но в целом неважно, как именно проходит прямая AB, поскольку суть доказательства всегда останется одной и той же.

Для начала обратимся к левой части чертежа. Проведем через точки A и B касательные к параболе. Они пересекутся в точке Q. Нетрудно показать (и это было уже известно Архимеду), что если точки N и M являются серединами отрезков AQ и BQ, то NM касается параболы в точке O. Из условий подобия заключаем, что площадь треугольника NMQ (заштрихован крупными клеточками) равна SNMQ = 1/4·SAQB. Также заметим, что треугольники ANM и NMQ имеют равные площади, поскольку у них одно и то же основание NM и равные высоты (ведь N является серединой AQ). Теперь отметим точки K и L на серединах отрезков AN и NO. Аналогично предыдущему построению получим, что KL касается параболы в точке P, причем площадь треугольника KNL (заштрихован мелкими клеточками) равна SKNL = 1/8·SANM, поскольку его основание вчетверо меньше, а высота вдвое меньше, чем у треугольника ANM. Таким образом, площадь двух заштрихованных мелкими клеточками треугольников составит 1/16 от SAQB. Достроив по такому же принципу треугольники в оставшихся незаштрихованных четырех областях под параболой мы получим, что площадь новых треугольников составит 1/64 от SAQB. Далее дополнительные треугольники можно описывать вокруг параболы сколь угодно долго, получая на каждом этапе вчетверо меньшую площадь, чем до этого. Иными словами, чтобы понять, какую часть от треугольника AQB занимает площадь под параболой, нам нужно найти сумму следующего ряда

Из вспомогательного чертежа видно, что сумма этого ряда равна 1/3, поскольку каждый заштрихованный квадратик занимает треть от своего L-образного участка (площадь всего большого квадрата принимается за 1). Но если заштрихованная площадь равна трети от треугольника AQB, то незаштрихованная, соответственно — двум третям.

В результате мы получили, что площадь сегмента параболы равна 2/3 от SAQB, либо же 4/3 от SAOB, поскольку площадь треугольника AOB вдвое меньше площади треугольника AQB (у них одинаковое основание AB, но высоты относятся как 1 к 2). Поскольку Архимед не осуществлял предельного перехода, то на самом деле он лишь показывал, что, достраивая внешние треугольники много-много раз, мы добьемся того, что разница между площадью незаштрихованной части чертежа и 4/3 от SAOB станет меньше любой наперед заданной малой величины.

Получив верхнюю оценку площади параболического сегмента, Архимед приступал к определению оценки снизу. Для этого он вписывал в параболу треугольник AOB (правая часть чертежа), а затем достраивал на сторонах этого треугольника дополнительные треугольники APO, предполагая дальнейшее построение новых треугольников на сторонах получившейся фигуры. Несложно показать, что SAPO = 1/8·SAOB, а, значит, за первый этап достраивания (с обеих сторон) мы прибавили 1/4 от SAOB. Аналогично можно показать, что много раз достраивая новые треугольники внутри незаштрихованных областей параболы, мы на каждом этапе получим вчетверо меньшую площадь, чем до этого. Иными словами, чтобы понять, какую часть от треугольника AOB занимает сегмент параболы, нам нужно найти сумму следующего ряда

Очевидно, что сумма этого ряда равна 1+1/3 = 4/3. В результате Архимед вновь получил, что разницу между незаштрихованной частью чертежа и 4/3 от SAOB можно сделать меньше любой наперед заданной малой величины.

Итак, площадь описанного вокруг параболы многоугольника всегда больше 4/3 от SAOB, а площадь вписанного — всегда меньше 4/3 от SAOB. Более того, при достаточном числе достраиваний разность между площадями этих многоугольников может быть сделана сколь угодно малой. Отсюда необходимо заключить, что площадь параболического сегмента не может быть ни больше, ни меньше 4/3 от SAOB. В самом деле, если площадь параболического сегмента больше либо меньше 4/3·SAOB на величину Δ, то это означает, что разница между площадями указанных многоугольников больше Δ, что абсурдно, поскольку противоречит уже доказанной возможности сделать эту разницу меньше любой величины, включая, разумеется, и Δ.

С современной точки зрения приведенное доказательство выглядит чересчур переусложненным: дважды получается один и тот же результат, после чего добавляется казуистический логический ход сведения к абсурду. Но таковы были математические правила эпохи. Никакой иной способ рассуждений не считался достаточно убедительным.

Архимед суммирует ряды

Если теперь ненадолго вернуться к суммированию ряда, то нужно пояснить, что простая ссылка на чертеж, разумеется, никак не могла считаться достаточно убедительной. В самом деле, не имея еще представлений о теории предела, нельзя было утверждать, что бесконечный ряд имеет какую-то конкретную сумму. Архимед доказывал лишь то, что сумма любого конечного числа членов этого ряда отличается от 4/3 не больше чем на треть последнего члена. Делалось это (в наших обозначениях) следующим образом. Пусть мы имеем ряд членов А, В, С, D, … Y, Z где каждый последующий член равен четверти предыдущего. Тогда запишем следующую (придуманную нами) последовательность