Шрифт:
Интервал:
Закладка:
причем


, …,

поэтому

Сократив все одинаковые члены слева и справа, получим

либо же, прибавив A слева и справа, имеем

На способе Архимеда суммировать ряды имеет смысл остановиться подробнее. Это позволит читателю еще лучше уяснить себе, что на самом деле представляла собой математика того времени. Ранее мы уже рассматривали последовательность 1 + 2 + 3…+ n, сумма которой определялась с помощью соединения двух состоящих из клеточек ступенчатых треугольников. Получалось, что сумма такого ряда равна n·(n+1)/2 = (n2+ n)/2. При очень большом числе членов ряда можно пренебречь величиной n по сравнению с n2, и получить формулу n2/2.
Такой подход применялся издревле, но получил особенно богатое развитие у атомистов. Однако в геометрической алгебре Евдокса и Евклида современным числам соответствовали только и исключительно отрезки прямых. Мыслить единицу как квадратик единичной площади считалось невозможным. Поэтому Архимед, вынужденный придерживаться данного принципа, суммирует указанный ряд следующим образом. Отрезки располагаются в порядке возрастания (толстые линии на чертеже). Затем каждый отрезок достраивается до самого длинного (до длины n), а в самом начале добавляется еще один отрезок длиной n (тонкие линии на чертеже).

Очевидно, что общее число отрезков теперь равно n+1, а их суммарная длина равна n·(n+1). Также несложно увидеть, что достроенные отрезки в точности повторяют исходные, поэтому их суммарная длина составляет как раз S = n·(n+1)/2 = (n2+n)/2. Ясно, что S > n2/2, так что это значение можно принять за нижний предел.
Теперь введем обозначение m = n+1 и запишем S = (m-1)·m/2 = (m2-m)/2, откуда ясно, что рассматриваемая сумма S < m2/2 = (n+1)2/2, и это значение можно принять за верхний предел. Таким образом, мы имеем n2/2 < S < (n+1)2/2, и методом сведения к абсурду можно доказать, что при достаточно большом значении n можно сделать разницу между S и n2/2 меньше любой, заранее заданной величины.
Особый интерес представляет случай, когда отрезок единичной длинный принимается короче любого наперед заданного (фактически является минимальным неделимым, или же бесконечно малым). Тогда в современных обозначениях мы можем записать формулу для суммы рассматриваемого ряда как

Даже на рассмотренном примере видно, что метод Евдокса чересчур усложнен и совсем не так нагляден, как атомистический, но для такой простой задачи он, в принципе, кажется вполне применимым. Однако же с рядом 12 + 22 + 32…+ n2 Архимед уже сам не знал, как поступить (ведь квадраты величин все еще требовалось представлять в виде отрезков, а не площадей), поэтому он честно признал, что просто подгоняет решение под заранее известный ответ S = (2n3+3n2+n)/6. При бесконечно большом n решение принимает вид S = n3/3, что в современных обозначениях (при бесконечно малой единичной длине), можно записать как

Разумеется, Архимед не использовал обозначение для интеграла, да и вообще всякую алгебраическую символику. Все приведенные формулы принимали у него вид теорем, в которых к ряду линий определенным образом прикладывались площади, имеющие избытком квадрат (аналог левой части формулы), а затем показывалось, что сумма полученных площадей составляет конкретную часть от какой-либо заранее заданной площади (аналог правой части формулы). В данном случае n3 нужно понимать не как объем, а как площадь прямоугольника со сторонами равными n и n2. Требовались недюжинные интеллектуальные способности просто для того, чтобы понять, о чем вообще идет речь, это не говоря уже об уяснении самой сути длинного доказательства.
Площадь параболы. Механическое доказательство Архимеда
Что касается механического определения площади сегмента параболы, то в этом случае Архимед воспользовался открытым им же законом рычага. Исследуемый сегмент мысленно подвешивался на одном плече симметричных (AO = OQ) весов так, чтобы ось параболы шла вертикально, а край плеча Q совпадал с одним из концов сегмента, тогда как другой конец сегмента R находился бы строго под точкой опоры O. На то же самое плечо весов подвешивается треугольник QRE, причем QE должна быть касательной к параболе. Основание QR делится на равные участки, проводятся вертикальные линии, а затем из Q строятся прямые, проходящие через точки пересечения вертикальных линий и параболы.

Далее, пользуясь свойствами подобия, Архимед показывает, что каждая из длинных вертикальных трапеций может быть уравновешена соответствующей огибающей параболу короткой трапецией, подвешенной в точке A. В самом деле, каждая большая трапеция во столько раз длиннее соответствующей малой, во сколько плечо AO длиннее расстояния до точки подвеса этих трапеций. Если обратиться к чертежу, то уже на примере самого правого треугольного кусочка должно быть понятно, что плечо AO необходимо слегка укоротить, однако, при разделении треугольника QRE на очень большее число трапеций это укорочение стремится к нулю. Одновременно с этим — короткие трапеции начинают стремиться к точному повторению формы параболы.
Иными словами, треугольник QRE может быть, по сути, уравновешен набором грузов (которые в сумме составляют параболический сегмент), подвешенным в точке A. В таком случае, как уже было известно, вес этого набора грузов (сегмента параболы) должен равняться 1/3 от веса уравновешиваемого треугольника. Последний факт почти очевиден, если вспомнить, что центр масс треугольника лежит в точке пересечения медиан, а сама эта точка делит медианы в отношении 1:2, то есть отсекает треть медианы от соответствующего основания (в нашем случае — от основания RE). Иными словами, центр масс треугольника лежит на 1/3 плеча OQ, и может быть поэтому уравновешен третью своего веса на плече AO. Поскольку вес грузов справа равен 1/3 от веса треугольника, то и их площадь должна составлять 1/3 от его площади.
Полное механическое доказательство со всеми выкладками