Далее Архимед доказал вспомогательную теорему, гласящую, что объем тела, составленного из двух конусов с общим основанием (как показано на нижнем чертеже), равен произведению площади боковой поверхности одного из этих конусов на треть высоты, опущенной на эту поверхность из вершины второго конуса. В нашем случае для нижнего чертежа принимается поверхность верхнего конуса, а высота на нее опускается из вершины нижнего (высота не обязательно попадет на саму поверхность, но вполне может пересекать ее мысленное продолжение). Данный неочевидный факт несложно вывести из уже известных нам соотношений, и мы оставим читателям удовольствие сделать это самостоятельно.

Чтобы определить объемы остальных кусочков (аналогичных показанному на центральном чертеже), Архимед предлагает мысленно достроить каждый из них до тела, состоящего из двух конусов, как это показано на правом чертеже. Объем рассматриваемого кусочка равен объему полученного тела за вычетом объема заштрихованной части, которая также составлена из двух конусов. Причем и у целого тела на правом чертеже, и у заштрихованной его части будет одна и та же высота h. Воспользовавшись только что рассмотренной теоремой, мы можем легко увидеть, что объем нашего кусочка равен произведению площади его боковой поверхностью (образованной образующей m) на треть высоты h. Нужно заметить, что высота h будет одинаковой для каждого из кусочков. Более того, поверхность сложного тела складывается из боковых поверхностей каждого кусочка.

Общий объем сложного тела определим как сумму объемов всех составляющих его частей, и получим, что он равен произведению площади всей поверхности тела на треть высоты, то есть. При увеличении числа сторон первоначального вписанного в круг многоугольника высота h стремится R, но всегда остается меньше радиуса, так что объем вписанного в шар тела всегда будет несколько меньше объема шара.

То же самое доказывается и для тела, описанного вокруг шара (разумеется, теперь объем тела всегда получается больше, чем у шара), а затем показывается, объем шара не может быть больше или меньше, чем произведение площади его поверхности на треть радиуса, то есть (4πR2)·R/3 = 4πR3/3.

Теперь уже легко вычислить площадь и объем цилиндра, чтобы убедиться, что они действительно в полтора раза больше соответствующих величин для вписанного шара. Это элементарно доказывается, если учесть, что высота такого цилиндра равна его диаметру (то есть двум радиусам). Архимед был настолько впечатлен собственным открытием, что завещал высечь изображение шара вписанного в цилиндр на своем надгробном камне.

Если верить Цицерону, то спустя 137 лет после захвата Сиракуз римлянами, он сумел отыскать заброшенную могилу ученого именно по такому изображению.

По иронии судьбы европейские математики, создававшие современное интегральное исчисление в XVII–XVIII веках, не знали об этом сочинении Архимеда, поскольку текст письма к Эратосфену был утерян. Лишь в 1906 году в константинопольской библиотеке Иерусалимской православной церкви обнаружилась литургическая книга, написанная на пергаменте, с которого были смыты более ранние греческие записи. Датский филолог и историк науки Йохан Любвиг Герберг (создавший, кроме прочего классическую реконструкцию «Начал» Евклида) изучил уникальный палимпсест и сумел почти полностью прочесть и издать первоначальные византийские тексты, записанные еще в X веке. Среди прочего пергамент содержал и следующие произведения Архимеда: «О равновесии плоских фигур, или о центрах тяжести плоских фигур», «О спиралях», «Измерение круга», «О шаре и цилиндре», «О плавающих телах», «Метод механических теорем», «Стомахион» (трактат о настольной игре-головоломке, целью которой было сложить квадрат из различных фигур). Последние три работы до того были известны лишь по упоминаниям у других авторов.

Отметим, что для христианской книги были использованы не все листы из рукописи письма к Эратосфену, и потому там отсутствуют доказательства теорем методом исчерпывания — к счастью, именно они не представляют для нас особого интереса.

Атомистические и механические идеи в математике Архимеда

Важно еще раз отметить, что, несмотря на всю свою гениальность, Архимед продолжал осмыслять математику геометрически, осуществляя преобразования пропорций с помощью слов, а вместо формул использовал отношения между различными телами или фигурами. Если какая-либо задача сводилась, например, к кубическому уравнению, Архимед просто констатировал, что необходимо отыскать две средние пропорциональные и останавливался. Нестрогих решений, которые нельзя получить с помощью циркуля и линейки, он не признавал, хотя иногда и рассматривал частные случаи, в которых отыскать точный ответ все-таки возможно.

Подобная щепетильность, на первый взгляд, противоречит смелому введению в математику механических методов, однако Архимед полагал, что сумел безукоризненно строго обосновать закон рычага на уровне «Начал» Евклида. Другое дело — атомистические приемы, от их следов приходилось тщательнейшим образом избавляться. В самом деле, считалось общепризнанным, что не существует большей ереси перед математикой, чем составлять линии из точек, плоскости — из линий, а тела — из плоскостей. Платон в «Законах» прямо утверждал, что это невозможно. Аристотель в сочинении «О небе» упрекал Демокрита и Левкиппа в том, что они, постулируя неделимые, впали в противоречие с основами математики, а ведь даже самое малое отступление от истины при дальнейших рассуждениях может увеличиться в десятки тысяч раз. Аналогичного мнения придерживались и Евдем Родосский, и Эратосфен. Любое знание считалось истинным лишь потому, что не предполагало, будто непрерывное состоит из неделимых.

Сам Архимед во время своего пребывания в Александрии, вероятно, еще не был знаком с атомизмом, хотя в знаменитой библиотеке почти наверняка имелись сочинения Демокрита. Видимо, никто из старших коллег не указал молодому сиракузцу на то, что в этих «ошибочных» работах присутствуют интересные для математика вещи. Вернувшись на родину, Архимед, уже не имел доступа к такому большому числу книг, и поэтому тщательно изучал все тексты, которые мог раздобыть. По случайности в Сиракузах обнаружились и такие сочинения, где излагались истоки атомистического «интегрирования», намеки о котором Архимед наверняка встречал и у других авторов. Оказалось, что разложение математических величин на элементы — мощный и эффективный математический инструмент. Более того, величайшие теоремы Евдокса об объеме конуса и пирамиды, как оказалось, доказаны именно Демокритом.

Конечно же, Архимед понимал, что рассуждения атомистов едва ли можно признать безупречными, но для опытного геометра не составляло никакого труда построить нужное доказательство по шаблону метода исчерпывания и последующего сведения к абсурду. Важно, что теперь оказалось возможным, пусть и нестрогим способом, но устанавливать новые интересные факты, а уж их окончательное обоснование — дело техники. Причем даже сам путь окончательного строгого доказательства можно перенять из последовательности атомистического интегрирования. В самом деле, всегда легче построить решение, уже имея определенные знания об исследуемых вещах, чем искать ответ