не приходилось встречать, и поэтому представить их себе нам необычайно трудно. Пытаясь постичь некий предмет, мы, естественно, стремимся сначала представить его себе в общих чертах, ощутить его. Приступая к изучению четырехмерной геометрии, мы можем лишь запомнить различные отношения и ознакомиться с ними. Возможно, что со временем они, по крайней мере отчасти, смогут сравниться по живости восприятия с понятиями трехмерной геометрии. Не следует, однако, возлагать на это слишком большие надежды, чтобы потом нас не постигло разочарование. Наоборот, если мы с самого начала отдадим себе ясный отчет в том, сколь малого следует здесь ожидать, то такой «реалистический» подход к предмету позволит нам достичь больших успехов и в лучшей степени овладеть им.

Отсюда следует, что понять четырехмерную геометрию отнюдь не легко. Изучать ее можно лишь небольшими порциями, возвращаясь к прочитанному и тщательно обдумывая его. Столь трудный предмет полезно рассматривать с различных точек зрения и изучать в различных изложениях. Поэтому приводимые ниже краткие очерки, принадлежащие перу различных авторов, обладают несколькими преимуществами: они содержат известные повторы, написаны с различных точек зрения, невелики по объему, и их можно выбирать и изучать независимо друг от друга.

Все эти очерки либо не математические, либо написаны в популярной форме. Это обстоятельство не следует упускать из виду. Из сравнения геометрии в пространстве низших размерностей мы извлекаем аналогии для геометрии четырех измерений, и эти аналогии настолько полны, что четырехмерную геометрию можно необычайно подробно изложить, не прибегая к строгой манере рассуждений, принятых в математике. Указанные аналогии служат путеводной нитью даже для математиков, но сама четырехмерная геометрия не зависит от этих аналогий. Как система теорем и доказательств, она возникает из положенных в ее основу аксиом в результате процесса логического рассуждения так же, как возникают геометрии пространств низших размерностей. Если мы хотим убедиться в непротиворечивости четырехмерной геометрии, в ее истинности как математической системы, нам необходимо изучить ее математически. Нематематическое изложение следует воспринимать лишь как описание четырехмерной геометрии, и читатель должен ясно сознавать, что подобное описание предназначено отнюдь не для того, чтобы убедить его хотя бы в возможности построения четырехмерной геометрии. Оно преследует иную цель: показать читателю, что такое четырехмерная геометрия.

Существует другой способ, также позволяющий использовать принцип аналогии. Вообразив себе двумерные существа, обитающие на плоскости и неспособные воспринимать третье измерение, а тем более геометрию трехмерного пространства, мы получим яркое представление о том, как мы сами относимся к четырехмерному пространству и тем или иным понятиям многомерной геометрии. Подобный подход становится еще более интересным, если изложение ведется в форме художественного произведения, повествующего о жизни в двумерном мире. Такое произведение не обязательно должно входить во все детали двумерного существования. Слишком подробное описание жизни в двумерном мире перегрузило бы повествование излишними подробностями, которые отвлекли бы нас от главной цели. Но подобное произведение, написанное так, чтобы искусно ввести нас в некоторые из этих отношений, способно оказать нам огромную помощь в понимании того, как мы сами должны относиться к многомерной геометрии [8].

Геометрия четырех измерений, построенная на основе соответствующей системы аксиом и применяемая обычным способом к точкам, прямым и т. д., представляет собой вполне определенную систему. Однако при попытке облечь наши идеи в физическую форму и представить себе мир либо двух, либо четырех измерений, заполненный двумерной или четырехмерной материей, мы сталкиваемся с явным произволом. Даже для физика материя представляет собой загадку, и мы можем развивать различные теории материи подобно тому, как мы выводим геометрии из различных систем аксиом. Мы не можем утверждать, что до конца постигли все свойства реально существующей материи, поэтому наделение материи в воображаемом пространстве необычными свойствами нельзя считать полностью лишенным смысла. Так, чтобы выяснить, как следует относиться к воображаемому пространству четырех измерений, вполне допустимо предположить, что существует двумерный мир с его обитателями, даже если существование такого мира заведомо исключено. Аналогично мы могли бы предположить, что Луна населена разумными существами, и получить весьма живую картину Лунной поверхности с точки зрения ее обитателей.

Итак, предположим, что двумерный мир существует. Следующая, не менее интересная задача состоит в том, чтобы понять, как далеко мы можем продвинуться в его описании. Например, можно предположить, что двумерная материя в действительности трехмерна и что двумерные существа также трехмерны. Для этого обитателям плоского мира мы можем приписать небольшую» толщину в третьем измерении или по крайней мере снабдить их некой толщиной, которую они сами воспринимать не могут. Но точно так же можно предположить, что обитатели плоского мира двумерны, и проследить, к чему приводит подобное допущение. Любую материальную частицу мы условимся рассматривать как точку, в которой сходятся или от которой исходят притягивающие или отталкивающие силы. Нетрудно предположить, что все эти силы расположены в одной плоскости. Двумерное существо, встретив на своем пути любой объект, сможет распознать, твердый он (точнее, его контур) или мягкий. Световые волны, распространяясь по плоскости, могут отражаться от различных предметов, точнее, от их края, и создавать на сетчатой оболочке глаза двумерных существ изображение. Двумерные волны могут возбуждать особую звукочувствительную струну в слуховой полости двумерных существ. Предметы могут удерживаться вместе и прикрепляться друг к другу либо путем прилипания, либо при помощи неких зажимов. Механические устройства и тела живых существ в плоском мире должны были бы иметь сравнительно простую структуру, если там, так же как в нашем мире, изолированные друг от друга предметы практически не взаимодействуют друг с другом. Ни в одном двумерном предмете не могло бы быть сквозных отверстий. Трубы не могли бы существовать в двумерном мире, Если бы в двумерном доме одновременно открылись две двери или распахнулось несколько окон, то такой дом развалился бы на отдельные части. По-видимому, существование в двумерном мире лишь весьма несложных форм и структур отразилось бы на сравнительно низком уровне умственного развития его обитателей, но в приведенной выше воображаемой структуре двумерного мира нет ничего невозможного.

Обратившись к одновременному рассмотрению двумерного и трехмерного пространств, то есть двумерного пространства, вложенного в трехмерное пространство, мы без труда обнаружим, что сами пространства можно выбирать в значительной мере произвольно. Если при том или ином выборе нам встретятся какие-нибудь трудности, то ими можно пренебречь ради наглядности аналогии. Однако вопрос о существовании двумерного мира в трехмерном пространстве интересен и сам по себе, поэтому мы попытаемся рассмотреть его несколько подробнее. Предположим, что двумерная материальная плоскость, населенная нашими двумерными существами, обладает способностью отражать часть света, падающего на нее извне, в силу чего двумерный мир виден трехмерным существам. Рассматривая обитателей плоского