предположения о том, что пространство искривлено. Неевклидовы геометрии двух и трех измерений не содержат никаких предположений относительно четвертого измерения. Действительно, мы можем предположить, что четырехмерное пространство, если оно существует, само является неевклидовым (эллиптическим или гиперболическим) и что наше пространство также является трехмерным неевклидовым (эллиптическим или гиперболическим) пространством, причем для этого нам вовсе не потребуется вводить кривизну. Четырехмерная геометрия отнюдь не обязана своим происхождением неевклидовым геометриям. И в том, и в другом случае мы в равной мере имеем дело с отходом от традиций. И четырехмерная, и неевклидовы геометрии выросли из современного анализа общей природы геометрии, но геометрии высшего числа измерений обязаны своим происхождением естественному обобщению двумерной и трехмерной геометрий, и математик находит им многие применения, не уступающие по важности их применению в неевклидовых геометриях.

Понятие многомерных геометрий играет важную роль в математике главным образом из-за параллелизма, существующего между алгеброй и геометрией. Алгебра использовалась до некоторой степени при доказательстве теорем, в которых приходилось рассматривать пропорции и другие отношения между числовыми величинами, но одновременное изучение алгебры и геометрии было впервые систематически проведено в аналитической геометрии и впоследствии стало основой наиболее существенной части математики. Однако алгебра занимается изучением различных величин, одни из них соответствуют планиметрии, другие — стереометрии. Кроме того, в алгебре встречаются величины, которые можно было бы назвать одномерными. Тогда соответствующая им геометрия, как нетрудно понять, интерпретировалась бы как геометрия точек па прямой, хотя такая геометрия вряд ли заслуживала бы внимания, если бы не потребности алгебры.

На первый взгляд может показаться, что такая комбинация алгебры и геометрии служит главным образом целям геометрии, однако в действительности она оказывается необычайно полезной для алгебры. Происходит это двояким путем. Язык геометрии содержит множество удобных терминов для обозначения объектов, описать которые иным способом было бы необычайно трудно. Применяя наглядные представления геометрии к алгебраическим величинам, мы делаем последние менее абстрактными и более понятными. Такие преимущества мы получаем для изображения алгебраических величин, соответствующих геометриям одного, двух и трех измерении. Однако в алгебре не существует причин, по которым эти величины были бы выделены по сравнению с другими, и, привыкнув оперировать геометрическими терминами в алгебре, мы будем употреблять их применительно ко всем алгебраическим величинам и тем самым используем первое из двух упомянутых выше преимуществ, которые дает нам комбинация алгебры и геометрии.

Но именно из наглядных представлений геометрии математик черпает основную помощь, применяя геометрию к алгебре, а поскольку геометрии высшего числа измерений необходимы для того, чтобы параллелизм между геометрией и алгеброй был полным, то математик пытается воспользоваться наглядными геометрическими представлениями и в этом случае, мысленно перенося нас в некое пространство, к которому применимы эти геометрические представления. Сказанное в особенности относится к четырехмерной геометрии, соответствующей некоторым из наиболее важных алгебраических величин.

Итак, мы видим, что геометрия четырех и большего числа измерений важна математику по двум причинам. Представление о такой геометрии как логической системе теорем, выводимых из некоторой совокупности аксиом, важно для изучающего абстрактную геометрию, а представление о пространстве, к которому применимы возникающие геометрии, оказывается чрезвычайно полезным при различных попытках применения геометрии к другим областям математики. Ни один математик не может считать себя полностью «вооруженным», если в его арсенал не входят хотя бы некоторые сведения из геометрии высшего числа измерений.

II

Математики начали интересоваться понятиями n-мерных геометрий примерно в середине прошлого века. Кэли, Грассман, Риман, Клиффорд и некоторые другие математики стали использовать эти понятия в своих исследованиях. Время от времени другие математики также обращали внимание на различные любопытные факты из многомерной геометрии. Так, первый том American Journal of Mathematics открывается статьей профессора Ньюкома, в которой доказано, что сферу, не не разрывая, можно вывернуть наизнанку в четырехмерном пространстве, а в третьем томе того же журнала профессор Стрингхэм приводит полный список правильных тел в пространстве четырех измерений, соответствующих правильным многогранникам нашего трехмерного пространства. Появились и другие работы, в которых рассматривалась теория вращения четырехмерных тел, их пересечения и проекции в трехмерное пространство. Великий итальянский геометр Веронезе опубликовал обширный труд по геометрии п измерений с теоремами и подробными доказательствами, совсем как в тех учебниках, по которым изучают геометрию в наших школах. Четвертое измерение является первым из высших измерений, и лишь его мы будем рассматривать далее.

Геометрия четырех измерений важна не только математику, она привлекает и представителей других наук. Так, четырехмерная геометрия затрагивает проблемы пространства, которые относятся к компетенции философа. Попытки представить себе наглядно четвертое измерение заставляют нас напрягать наше пространственное воображение, и тем самым четырехмерная геометрия привлекает к себе внимание психологов. Попытки использовать теории гиперпространства для объяснения физических и других явлений делают четырехмерную геометрию предметом изучения физиков и других естествоиспытателей. Кроме того, широкий интерес вызывают многие любопытные формы и отношения, возникающие при изучении четырехмерной геометрии. Например, трехмерные симметричные тела, отличающиеся лишь расположением в пространстве, можно перевести друг в друга, повернув их в четырехмерном пространстве. Не меньший интерес вызывает плоскость, которая служит осью вращения, а также то обстоятельство, что в четырехмерном пространстве две полные плоскости иногда могут иметь лишь одну общую точку. Гибкую сферу в четырехмерном пространстве можно вывернуть наизнанку, не разрывая ее при этом. Для того чтобы извлечь любой предмет из закрытой коробки или запертого помещения, в четырехмерном пространстве вовсе не требуется взламывать стенки или проникать сквозь потолок и пол. Узел на веревке в четырехмерном пространстве можно развязать, не прикасаясь к концам веревки, а цепь разъять на отдельные звенья, не распиливая их на части!

Эти любопытные особенности пространства четырех измерений, хотя они и представляют несомненный интерес, чрезвычайно затрудняют изучение четырехмерной геометрии. Мы не только не в силах представить себе, как может происходить нечто подобное, но и сами факты здесь лежат за пределами нашего разумения. Изучая планиметрию и стереометрию, мы рисуем чертежи и строим модели. Мы постоянно видим сами изучаемые предметы, и поэтому, даже если они сложны, нам нетрудно мысленно представить их себе. Иначе обстоит дело с четырехмерной геометрией: она, как правило, занимается изучением таких предметов, которые никогда не встречались нам на опыте и которые мы даже с трудом сможем представить себе. Каждое утверждение четырехмерной геометрии кажется нам лишенным смысла. Особенно часто такое ощущение охватывает тех, кто впервые приступает к изучению четырехмерной геометрии. Легкость в восприятии ее утверждений, если она вообще достигается, приобретается лишь медленно и ценой постоянных упражнений. Однако в четырехмерной геометрии мы, как правило, сталкиваемся с такими вещами, которые ранее нам никогда