трехмерная геометрия находится к двумерной, что позволяет нам сразу же предсказать многие особенности четырехмерной геометрии.

Наши прогнозы станут понятнее, если сначала мы скажем несколько слов о том, что составляет предмет геометрии и какова природа геометрических рассуждений. Геометрия не рассматривает материальные предметы, например нить или лист бумаги, а интересуется абстрактными линиями или поверхностями. Не рассматривает геометрия и реальные факторы. Она лишь показывает, какие утверждения были бы верными, если верны некоторые другие утверждения. Применяя ту или иную геометрическую теорему к нити или листу бумаги, мы прежде всего должны проверить, выполняются ли условия этой теоремы, и правильность полученного нами результата зависит от того, в какой мере выполнены условия теоремы.

Даже аксиомы геометрии, ранее считавшиеся самоочевидными истинами, ныне рассматриваются лишь как гипотезы. Математик отнюдь не утверждает, что аксиомы верны. Он строит систему утверждений, которые с необходимостью следуют из аксиом и содержатся в самих аксиомах, но оставляет за собой свободу менять аксиомы и, выбирая различные наборы аксиом, строит различные геометрии. Каждая геометрия с математической точки зрения верна, верна в том смысле, что представляет собой совокупность утверждений (теорем), с необходимостью следующих из того набора аксиом, который положен в ее основу. Необходимо, чтобы аксиомы, лежащие в основании геометрии, были непротиворечивыми, то есть чтобы одна аксиома не противоречила другой. Кроме того, аксиомы должны быть независимыми. Утверждение не следует принимать за аксиому, если оно следует из других аксиом. Наконец, система аксиом должна быть полной, то есть геометрия должна полностью определяться принятой системой аксиом без обращения к каким-либо дополнительным аксиомам.

Построив различные геометрии, мы затем останавливаем свой выбор на одной из них и применяем ее к реальности. Мы выбираем такую геометрию, аксиомы и теоремы которой лучше всего соответствуют условиям нашего существования, но этот выбор не является частью математического рассуждения. Он всецело определяется экспериментом и жизненным опытом.

Наконец, математик может пойти еще дальше и отказаться от явного определения объектов, рассматриваемый в его геометрии, их свойств и отношений. Математик может выбрать некоторые элементы, назвав их «точками» и «прямыми», и некоторые отношения, которые он называет отношениями «положения», «величины» или «принадлежности». Не определяя в явном виде элементы и отношения, математик предполагает, что элементы удовлетворяют отношениям. Утверждения о том, что выбранные элементы удовлетворяют отношениям, служат аксиомами. Из этих аксиом математик выводит другие отношения. Формулировки этих отношений служат теоремами.

Такова схема абстрактной геометрии. Используемые в ней термины лишены смысла независимо от того, являются ли они такими словами, как «точка», «прямая», «пересечение» и т. д., заимствованными из обычной геометрии, или новыми специально изобретенными словами. Разумеется, гораздо легче придать смысл всем терминам с самого начала и рассматривать геометрию в какой-либо конкретной форме, особенно если этой конкретной форме нетрудно придать наглядный смысл, но вполне возможно строить геометрию абстрактно и лишь, затем придавать конкретный смысл ее терминам. Изменяя смысл терминов, мы можем придавать одной и той же геометрии несколько интерпретаций, даже если геометрия первоначально была построена в конкретной форме.

Нарисованная нами картина геометрии позволяет легче воспринимать основные идеи геометрии четырех или большего числа измерений. Подготовленный читатель не встретит трудностей в принятии системы аксиом, включающей в себя гипотезу о том, что существуют точки, лежащие вне данного пространства трех измерений, коль скоро «точки» и «пространство» — слова, лишенные смысла. Трудность, с которой встретится, читатель при попытке наглядно представить себе такую или любую другую геометрию, возникнет лишь тогда, когда он попытается применить ее к нашему или воображаемому миру и при этом выяснится, что применение геометрии приводит к некоторым противоречиям или выходит за пределы накопленного опыта.

Мы уже говорили о том, что одна и та же геометрия может иметь несколько интерпретаций. Так, некоторую двумерную геометрию можно интерпретировать как сферическую геометрию, если под термином «прямая» понимать окружность большого круга. При надлежащем определении длины или расстояния нашу обычную геометрию можно интерпретировать как геометрию, в которой окружности, проходящие через некоторую фиксированную точку, считаются прямыми. Можно было бы привести и другие примеры. Абстрактная геометрия четырех измерений допускает интерпретацию как конкретную геометрию, если под словом «точка» понимать прямую в нашем привычном трехмерном пространстве. Чтобы однозначно определить положение прямой, необходимо задать четыре числа, и все отношения в геометрии четырех измерений можно интерпретировать как отношения между обычными прямыми в трехмерном пространстве и фигурами, образованными из этих прямых.

Но все эти интерпретации кажутся весьма искусственными, и сама абстрактная геометрия представляет интерес главным образом для тех немногих, даже среди математиков, специалистов, которые посвятили себя изучению геометрии. Например, геометрия прямых в трехмерном пространстве представляет интерес и ценность сама по себе, но нас сейчас она будет интересовать главным образом как наиболее естественная интерпретация геометрии четырех измерений, в которой точки означают точки, прямые — прямые линии, а отношения имеют тот же смысл, в котором мы привыкли понимать их в двумерной и трехмерной геометриях, согласующихся с нашим повседневным опытом. Даже если математик использует абстрактную геометрию в какой-либо другой области математики, он всегда стремится интерпретировать ее наиболее естественным образом.

Самыми важными из геометрий, развитых при помощи различных систем аксиом, являются две геометрии, известные под названием неевклидовых геометрий Эти геометрии достаточно полно изложены в приводимом ниже очерке «Неевклидова геометрия и четвертое измерение». Ни Лобачевский, ни Бойяи не использовали абстрактный подход к геометрии, намеченной нами выше, тем не менее, как выяснилось, открытая ими гиперболическая геометрия великолепно согласуется с нашим повседневным опытом, если мы ограничимся рассмотрением небольшой части плоскости или небольшой области пространства. То же самое можно сказать и относительно эллиптической геометрии. Мы не можем даже утверждать, что геометрия нашего пространства евклидова и не является ни гиперболической, ни эллиптической. Неевклидовы геометрии в случае двух измерений можно применять к некоторым кривым поверхностям в обычном пространстве (то есть пространстве с евклидовой геометрией), если под термином прямая понимать геодезическую, или кратчайшую, линию. Иногда это утверждение принимают за объяснение неевклидовой геометрии и предполагают, что плоскость в неевклидовой геометрии не является плоскостью, а прямая — прямой.

Так же, как в обычном трехмерном евклидовом пространстве можно найти кривые поверхности, к которым применимы неевклидовы геометрии двух измерений, в четырехмерном пространстве можно указать искривленные трехмерные пространства, или гиперповерхности, к которым применимы трехмерные неевклидовы геометрии. Некоторые склонны усматривать в этом дополнительное объяснение неевклидовых геометрий, ошибочно полагая, будто наше пространство является одним из таких искривленных пространств в пространстве четырех измерений. Некоторые даже считают, что геометрия четырех измерений была специально создана для объяснения неевклидовых геометрий. Сами по себе неевклидовы геометрии не исходят из