и результаты расчетов, бесконечном размере памяти для записи (хранения) алгоритма. Если заменить эту аксиому на тезис о конечности характеристик машины Тьюринга— Поста, то мы получим БОЛЕЕ конструктивистскую теорию, для которой становятся актуальными тезисы:

К Гипотезе 1.

О конечности количества простых чисел.

Фактически это гипотеза о конечности мира, о конечности числа чисел вообще.

К Гипотезе 3.

О симметричности распределения простых чисел в ряду целых чисел.

Первые простые числа идут подряд друг за другом: 1, 2, 3. (1 ПРИНЯТО к простым числам не относить. При этом неотнесение 1 к «простым» числам является условным; основной части определения простого числа (неделимости на все числа кроме себя и единицы) единица удовлетворяет).

В парадигме конструктивистской математики можно утверждать:

Тезис 1. Для достаточно большого целого числа НЕВОЗМОЖНО проверить (доказать) свойство его делимости на любое другое число, кроме самого на себя, следовательно, мы должны считать его простым ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ. В этом смысле, ВСЕ ДОСТАТОЧНО БОЛЬШИЕ ЧИСЛА — ПРОСТЫЕ, не делимы ни на одно число, кроме самих себя. В частности, они, в этом смысле, также идут подряд как и ПЕРВЫЕ простые числа, что соответствует Гипотезе 3 Шилова.

Тезис 2. Для любых двух достаточно больших целых чисел невозможно проверить (доказать) их отличие друг от друга, т. е. мы должны по определению считать их РАВНЫМИ друг другу.

Отсюда следует:

Тезис 3. (Расширенная Гипотеза Шилова)

Множество целых чисел конечное, но открытое. Последние из них недостижимы человеческим счетом, равны друг другу (неотличимы друг от друга) и являются простыми.

Более того, истинны утверждения, что для достаточно больших чисел ОТСУТСТВУЮТ способы:

1) их записи (хранения) в памяти машины Тьюринга,

2) их сравнения друг с другом на предмет установления их равенства-неравенства,

3) их перемножения друг с другом,

4) прибавления к ним единицы.

EEV:

В.Н. Левин, Вы пишите мне, что я не разглядел в термине «набор» первичного понятия МНОЖЕСТВА. Математики при изучении доказательства вообще не должны ничего разглядывать. Если Вы хотите сказать «множество», то и говорите «множество», не заставляя никого ничего «разглядывать». Ну так что — где ответ на мое возражение? Заменяете слово «набор» словом «множество»? Или нет?

С. Шилов:

Валентин Николаевич, у меня, с учетом Ваших блестящих конструктивистских интерпретаций принципа конечности простых чисел, которые (интерпретации) сами по себе аксиоматически закладывают тип математики, есть такой полезный вопрос: какова может быть конструктивистская интерпретация (формализация) принципа делимости на ноль как некоторой альтернативы счета (точнее — счет является субъективной альтернативой делимости на ноль)? — как конструктивистски записать переход (формулу перехода? — как интерпретацию формулы Единицы «единица есть множество простых чисел») от 10 к 1 / 0 , вывернуть, так сказать, десятичную систему наизнанку хранящейся в ее «подсознании» истины, о которой она постоянно свидетельствует в десятичных дробях и т.д., но не может использовать собственное свидетельствование?

Следующее. Конечно-конструктивистская машина универсального алгоритма (вспомним дискуссию о троичном коде «ноль — единица — простое число») может быть основой трансформации того, что Хайдеггер называл «сущностью техники», и того, что он называл одним словом — ПОВОРОТ.

Михаил М.:

В.Н. Левин, я искренне пытаюсь понять Вашу точку зрения и Ваши базовые предпосылки. Присоединяюсь к недоумению EEV относительно удовлетворяющих Вас конструктивных способов описания, задания, «получения» множеств. И множества у Вас уже стали непредставимы в виде множеств... Если для Вас недостаточно иметь алгоритм перечисления всех элементов множества, то какие же представления множеств Вам нужны? Как говорят в американских банках какими «биллами» (купюрами) Вы желаете иметь Ваши деньги? Как Вы вообще рассуждаете о каком-то множестве, если для оно для Вас непредставимо? Я, например, так не могу. Мне, чтобы начать исследование конечности, бесконечности, других свойств множества, сначала надо иметь его описание, желательно конструктивное каким-то алгоритмом, хотя не для всех множеств это возможно. Может быть, Вам мешает вот это Ваше утверждение: «Конструктивистская Машина Тьюринга—Поста в качестве исходных аксио, имеет неконструктивистскую аксиому о бесконечном быстродействии процессора, бесконечной длине ленты, на которой записываются исходные, промежуточные данные и результаты расчетов, бесконечном размере памяти для записи (хранения) алгоритма». Должен поправить, скорость работы для машин Тьюринга не оговаривается, может быть и сколь угодно малой. У машин Тьюринга лента является единственным видом памяти, нет особой памяти для хранения алгоритмов, Алгоритм каждой машины Тьюринга намертво «зашит» в ее устройстве и, разумеется, конечен. От ленты требуется не актуальная бесконечность, а возможность наращивать по мере необходимости (потенцальная бесконечность). Т.е. концепция Тьюринга вполне конструктивна с житейской точки зрения — конечное устройство работает с конечным устройством памяти (лентой), если памяти не хватает, то приостанавливаемся, наращиваем память, продолжаем вычисления и т.д., либо до завершения вычислений, либо вечно. Вы также пишите: «Более того, истинны утверждения, что для достаточно больших чисел ОТСУТСТВУЮТ способы: 1) их записи (хранения) в памяти машины Тьюринга, 2) их сравнения друг с другом на предмет установления их равенства-неравенства, 3) их перемножения друг с другом; 4) прибавления к ним единицы». Поосторожнее, целые числа определяются индуктивно прибавлением единицы к предыдущему числу. Так у Вас и множество целых чисел окажется конечным какие уж доказательства при таких предпосылках.

Андрей Св.:

Уважаемые господа, разрешите задать вопрос. Для чего человечеству понадобилась машина Тьюринга в традиционном ее понимании (а другого по-моему и быть не может, тогда это не м.Т.) — очень даже понятно, и о том, что с её помощью сделано, написано море книг. В том числе как мне представляется, и конструктивная математика (точнее математическая логика) эт. е. её порождение. Так вот мой вопрос: зачем понадобилась «конечная» машина Тьюринга, что это такое, и как она работает?

В. Н. Левин:

EEV, Вы пишите мне: «Вашу исходная фраза «ПРЕДСТАВИТЬ ВСЕ простые числа одним набором НЕЛЬЗЯ!» заменяем на: «Представить все простые числа одним множеством нельзя, или, другими словами: множество простых чисел не составляет одно множество».

Протестую. Ваша связка «другими словами» в корне меняет смысл исходной фразы. Допущения «представим», «допустим», лежат в плоскости Субъекта, являются характеристиками ЕГО состояния. В цитате, которую Вы привели, я утверждал о том, что Евклид сделал вывод, выводящий его за пределы его собственных предположений, — я упрекал его за неявное использование ОНТОЛОГИЧЕСКИХ гипотез. Вы Вашей подменой совершаете ту же самую некорректность — делаете прыжок из плоскости свойств СУБЪЕКТА в плоскость свойств ОБЪЕКТА, которому в прыжке ПРИПИСЫВАЕТЕ «естественные» свойства, придуманные Вашей подкоркой. Вы также подразумеваете, что «ЛЮБУЮ совокупность объектов можно объявить множеством, ввиду определения понятия МНОЖЕСТВО». Вот это уже