ДУДКИ! Кризис в основаниях математики в начале XX в. случился, в частности, из-за того, что корректного определения понятию множества найти не смогли. Пример — известный парадокс Рассела: «Возьмём множество W — всех таких множеств, которые не являются элементами самих себя. Оно непусто. Например, множество цыплят — не цыпленок. Спрашивается, множество W является элементом самого себя или нет? Если НЕТ — то его надо включить в W. Если ДА (включили) — значит, по определению W — его надо из W исключить! ПАРАДОКС!»

Михаил М.:

Андрей Св., уточните вопрос. Вы спрашиваете вообще о машинах Тьюринга, или создалось впечатление, что есть особые, «конечные» в противовес «бесконечным»? На самом деле таких разновидностей нет. По определению, классическая машина Тьюринга — это конечный автомат, управляющий головкой, под которой находится лента, разбитая на ячейки. В каждом такте работы автомат может перейти в другое состояние, а головка может записать или стереть символ некоторого алфавита в находящейся под ней ячейке, либо может сдвинуть ленту на одну ячейку вправо или влево. Считать ленту изначально бесконечной, либо надстраиваемой по мере необходимости — дело вкуса, на вычисления не влияет. Ничего не изменится также, если считать, что лента конечна, но машина может делать новые ячейки делением крайних ячеек пополам. Зачем придумали такие машины? Так интересно же, что можно вычислять столь простыми агрегатами как выяснилось — всё, что может вычислить любое другое устройство. Доказать это конечно нельзя, но, поскольку более «мощных» вычислителей придумать не получается, можно принять за аксиому, что и гласит «тезис Тьюринга».

В.Н. Левин:

Андрей Св., Вы спрашиваете: «Для чего человечеству понадобилась машина Тьюринга в традиционном ее понимании ... очень даже понятно, ...Так вот мой вопрос: зачем понадобилась “конечная” машина Тьюринга, что это такое, и как она работает».

Уважаемый Андрей! Каждый ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ программист знает, что «конечная машина Тьюринга» — т. е. «умозрительный» компьютер определит свойства «вычислимости-невычислимости» функций иначе, чем традиционная машины Тьюринга. К чему может привести теоретизирование, отталкивающееся от «конечной машины» (согласен, это уже не машина Тьюринга) — НЕ ЗНАЮ. Тема явно поисковая. Может, кто-нибудь что-то фундаментальное здесь откроет. Как знать заранее?

В добавление — если возникнет вопрос, чем «вычислимость» по «конечной машине» отличается от «вычислимости» по машине Тьюринга.

Для «конечной машины» мало предъявить алгоритм, чтобы считать соответствующую функцию «вычислимой».

Необходимо, чтобы предъявленный алгоритм приводил к объявленному результату в заранее указанных ограничениях по времени и по использованному объему памяти.

Например, если Вы программируете систему противоракетной обороны, то Вы должны уметь в ОГРАНИЧЕННОЙ памяти за считанные секунды размещать и обрабатывать колоссальные объемы информации.

Далеко не каждая «вычислимая» по Тьюрингу функция окажется при этом вычислимой за требуемое время.

Сергей Шилов, Вы задали сложный вопрос о делимости на ноль. Сходу трудно ответить. Математическая операция деления взялась из практики: делить на заданное количество ЧАСТЕЙ. В знаменатель ставится количество частей. Если частей одна или более — все интерпретируется обычной практикой. Но если частей НОЛЬ? Что значит: «Разделить так, чтобы частей не было»? Можно интерпретировать так: деление на ноль — это такая операция, при которой объект превращается в «неимеющий частей», т. е. в НЕДЕЛИМЫЙ, в какое-то подобие простого числа. Вообще, надо подумать как можно интерпретировать выражение «1/0».

Андрей Св:

Не нужно быть профессиональным программистом, чтобы понять как устроена и работает традиционная машина Тьюринга. Вот я и спрашиваю как устроена и как работает машина Тьюринга с конечными характеристиками? А если она устроена и работает точно так же, то для чего она нужна в таком случае?

С. Шилов:

В. Н. Левин, Вы пишите: «Что значит: “разделить так, чтобы частей не было”? Можно интерпретировать так: деление на ноль — это такая операция, при которой объект превращается в “неимеющий частей”, т. е. в НЕДЕЛИМЫЙ, в какое-то подобие простого числа».

ЗАМЕЧАТЕЛЬНО! Я с другой стороны пришел к выводу принципа делимости на ноль. Деление целого числа на ноль есть простое число p, деление целого числа на ноль как полное и непротиворечивое стационарное состояние есть множество простых чисел. Простое число, деленное на ноль, есть число мнимых единиц. Таков непосредственный смысл простого числа, раскрываемый физической математикой. Последовательность простых чисел — истинный числовой ряд — есть система счисления. Система счисления простых чисел имеет своим основанием ноль. Это временная система счисления, она представляет ход времени как истинное движение числа. Истинная запись числового ряда есть система счисления по основанию «ноль». Каждое простое число есть запись числа, выражающегося отношением целого числа (собственным отношением) к нолю (делением целого числа на ноль). В данной системе конечное число чисел: сумма всех величин, обратных простым числам, равна четырем. Здесь я предполагаю, что обнаруженное современной математикой явление того, что сумма всех величин, обратных простым числам, для известного числа простых чисел (около 50 млн) не превышает четырех, — что это явление следует считать началом физической математики, в которой принцип конечности числа простых чисел приводит к отказу от гипотезы бесконечности, к отказу от последних оснований евклидова мышления. Принцип конечности числа простых чисел вслед за принципомпостоянства скорости света завершает научную революцию 20-х годов прошлого века.

Андрей Св., Вы пишите: «Не нужно быть профессиональным программистом, чтобы понять как устроена и работает традиционная машина Тьюринга. Вот я и спрашиваю как устроена и как работает машина Тьюринга с конечными характеристиками? А если она устроена и работает точно так же, то для чего она нужна в таком случае?».

Наша с Левиным КОНЕЧНАЯ МАШИНА («более мощная», чем машина Тьюринга) — это МАШИНА, ЛЕНТОЙ КОТОРОЙ ЯВЛЯЕТСЯ ЛЕНТА МЁБИУСА. Такая машина будет способна выполнять троичный код «ноль — единица — простое число», переход от ЛОГИКИ («ноль—единица») к РИТОРИКЕ («ноль—единица—простое число»), переход от «да—нет» к «да—нет—суждение». Это и так называемая машина искусственного интеллекта, и принцип машины времени (суть которой не путешествия во времени, а моделирование-производство времени).

В.Н. Левин:

Сергей Шилов, продолжая думать над Вашим вопросом о смысле деления на НОЛЬ, я обращаю внимание на неоднозначную природу понятий «умножение» и «деление» в математике.

Укажу ТРОЙНУЮ природу УМНОЖЕНИЯ.

Его двойная природа видна сразу.

С одной стороны, умножение происходит из практического СЛОЖЕНИЯ как операция над МНОЖЕСТВАМИ, имеющими одинаковое число элементов.

При этом сомножители принципиально НЕОДНОРОДНЫ: один из них указывает число элементов в каждом из рассматриваемых множеств, другой — число множеств.

С этой стороны, умножение предполагает ОБЪЕДИНЕНИЕ множества множеств в ОДНО множество, число элементов которого и объявляется ПРОИЗВЕДЕНИЕМ.