2) есть удвоенная сумма ковариаций колебаний по всем возможным парам единиц совокупности. Так как коэффициент каждой парной корреляции колебаний — величина

то

где γ — число степеней свободы (для прямой γ = n — 2, для параболы γ = n — 3).

В свою очередь, Σni=1Ui2 по совокупности в целом можно выразить как γ х S2(t)cов по совокупности в целом. Учитывая это и результат (9.6), можно записать вместо (9.5):

Сократив обе части равенства на число степеней свободы γ, имеем окончательный результат для объемных признаков:

Итак, можно сделать вывод: дисперсия колебаний признака в целом по совокупности с объемом k единиц, равна сумме дисперсий по всем к единицам плюс удвоенная сумма произведений средних квадратических отклонений по всем сочетаниям единиц совокупности Ck2 на парные коэффициенты корреляции колебаний.

Из этого важного вывода вытекает следствие: если бы колебания признака у всех единиц совокупности были независимы друг от друга (все rumup = 0), дисперсия признака по совокупности в целом была бы равна сумме дисперсий признака для всех единиц совокупности.

Например, если в каждом из 20 предприятий района валовой сбор имел бы дисперсию колебаний, равную 9000 ц2, то дисперсия валового сбора по району была бы равна 180000 ц2. В таком случае имели бы: S(t)сов = √180000 = 424,26 ц, в то время, как по каждому предприятию S(t)j = √9000 = 94,87 ц, и их сумма по 20 предприятиям составила бы: 94,87∙20 = 1897,49. Отсутствие связи колебаний у разных единиц совокупности, независимость их распределения во времени более чем вчетверо снизили бы величину колебаний признака по совокупности в целом. К сожалению, в границах не только административного района, но даже и области, края, небольшого государства многие факторы колебаний валового сбора сельскохозяйственных культур являются общими, действующими на всей территории более или менее согласованно. Это означает, что коэффициенты корреляции rumup в преобладающей части — положительные величины. Если предположить, что в среднем общие факторы объясняют половину колебаний, т. е. r‾2 = 0,5, г‾ ~= 0,7, то получим следующий результат по (9.7):

S(t)сов = √(180000 + C220∙94,872) = √(180000 + 190∙94,872) = 1374,8 ц.

Как видим, и эта величина все еще существенно меньше, чем сумма колебаний по 20 единицам. Так как на практике невозможно, чтобы все факторы колеблемости для всех единиц совокупности были только общими, всегда есть и часть специфических факторов колеблемости для отдельных предприятий, то коэффициенты корреляции отклонений от трендов всегда в среднем меньше единицы, а тогда правая часть выражения (9.7) меньше, чем квадрат суммы колебаний. В результате имеем общий закон агрегирования колебаний объемного признака для совокупности хозяйств или любых иных объектов: абсолютная колеблемость объемного признака в совокупности всегда меньше, чем сумма абсолютных мер колеблемости по всем единицам совокупности, и коэффициент колеблемости по совокупности меньше средней величины коэффициентов колеблемости в единицах совокупности:

S(t)сов < Σkj=1S(t)j

V(t)сов < V‾(t)j.

Если же имеет место обратная корреляция колебаний между единицами совокупности, например, между колебаниями валового сбора в разных регионах большой страны или всего мира, то компенсирующие друг друга колебания могут еще резче снизить общую колеблемость по совокупности и даже свести ее к нулю[23].

Данный закон справедлив и для вторичных признаков, таких, как урожайность. Если бы колебания урожайности у всех единиц совокупности были жестко связаны (т. е. все rumup были равны единице), то колебания урожайности по совокупности были равны средней из показателей S(t)j каждой единицы совокупности. Но так как на разных предприятиях, в хозяйствах есть не только общие для совокупности факторы колеблемости, но и специфические, все rumup < 1, а, значит, колебания средней урожайности по совокупности хозяйств, даже если взять простую среднюю, будут меньше, чем среднее квадратическое отклонение по всем единицам. А если еще среднюю урожайность по совокупности вычислить как взвешенную по площадям, то их колебания, конечно, не строго согласованные по всем единицам совокупности, также будут снижать колеблемость средней урожайности по совокупности.

Знающие векторную алгебру легко усвоят закономерности уменьшения колеблемости при агрегировании объектов, если примут во внимание, что колебания — не скалярная величина, а векторная, направление которой — ее распределение во времени. Векторная сумма, как известно, всегда меньше скалярной суммы векторов, не учитывающей их направленности.

9.3. Корреляция между временными рядами: сущность, ограничения

Предполагается, что читатель знаком с теорией корреляции в пространственных совокупностях и ее показателями, которые здесь используются. Корреляция временных рядов применяется:

• взамен пространственной корреляции, ввиду отсутствия однородной совокупности или данных о таковой. Например, при изучении связи между средним душевым доходом в стране и душевым потреблением картофеля. Совокупность стран явно неоднородна, не везде потребляется картофель, единственная возможность измерить связь — по данным той же страны за ряд лет;

• при изучении взаимодействующих процессов, например при изучении связи между урожайностью и колебаниями солнечной активности. Изучать эту связь по пространственной совокупности вообще невозможно: для всех регионов на Земле показатели солнечной активности одинаковы;

• там, где следует применять пространственную корреляцию. Например, дипломник проходил практику в отдельном колхозе, на предприятии, а не в районе. У него нет данных по совокупности хозяйств о внесении удобрений и об урожайности, он берет данные колхоза за 7-11 лет и по ним измеряет связь урожайности с дозой удобрений, получая, как правило, низкий коэффициент корреляции или даже отрицательный, потому что урожайность разных лет колеблется вовсе не из-за различия доз удобрения, а совсем из-за других причин. Это просто суррогат настоящей пространственной корреляции, к которому прибегать не рекомендуется.

Корреляция между двумя (для простоты возьмем два) признаками означает, что если величина одного из них больше средней по совокупности, то и величина другого в основном тоже больше его средней (прямая связь) или же в основном меньше его средней (обратная связь). Но если оба признака имеют одинаково направленные тренды, то уровни лет после середины периода, как правило, больше средних величин или, при трендах к снижению, оба признака имеют уровни меньше средних. Выходит, что в динамике между любыми признаками, имеющими тенденцию изменения, всегда есть связь: либо прямая (оба тренда в одном направлении), либо обратная (тренды в разных направлениях). Результат абсурдный. В любой развитой стране в 1970–1990 гг. рос уровень производства компьютеров. Одновременно