особенно впечатляющим является числовое решение, полученное Архимедом в его работе «Об измерении круга».

Сочинение начинается с теоремы, утверждающей, что площадь круга равна площади такого прямоугольного треугольника, у которого один катет равен радиусу круга, а другой — длине окружности. Об этом знали еще атомисты, рассматривавшие круг, как бесконечноугольник, составленный из множества узких треугольников с вершинами в центре. Понятно, что высоты таких треугольников неотличимы от радиусов, а сумма их площадей, очевидно, как раз и равна площади такого прямоугольного треугольника, о котором говорит Архимед. Впрочем, он, разумеется, не мог рассуждать подобным образом. Вместо этого, как уже должно быть ясно, сперва предполагалось, что площадь круга отличается от указанного значения на какую-либо величину, а затем, последовательным удвоением числа сторон вписанных и описанных многоугольников, показывалась абсурдность подобного допущения.

Пока что достаточно просто, но полученное решение не говорило ничего конкретного о реальной величине исследуемой площади. В самом деле, всё ещё оставался открытым вопрос о длине окружности, которую требовалось каким-то образом вычислить. Поэтому основная теорема книги утверждает, что отношение окружности к ее диаметру всегда больше 310/71, но меньше 310/70. Данные значения получились из сравнения периметров описанного и вписанного 96-ти угольников.

Конечно же, Архимед не занимался вычерчиванием фигуры с 96 одинаковыми сторонами, а вместо этого нашел изящный способ вычислить их периметр. Так, он начал с описанного шестиугольника (левая часть чертежа) и выделил половину его стороны AB (правая часть чертежа, сверху). Обозначим радиус окружности (сторона AO) как R. Поскольку треугольник ABO прямоугольный, причем угол при вершине B равен 60°, то

AO/AB = 30,5/1 ≈ 265/153 и BO/AB = 2/1 = 306/153.

При этом Архимед умалчивает, откуда он взял приближение для. Сам ли он вычислил, что дробь 265/153 дает достаточно хорошую точность, либо же это уже было известно — об этом нет ни единого слова, как будто извлечение корней являлось для греков чем-то заурядным.

Далее Архимед использует два соображения. Во-первых, в рассматриваемом треугольнике биссектриса, опущенная из вершины O, всегда будет давать нам половину стороны правильного многоугольника с удвоенным числом сторон. То есть, если каждый раз проводить биссектрисы, то AC будет полустороной правильного 12-ти угольника, AD полустороной правильного 24-х угольника и так далее. Во-вторых, биссектриса всегда делит основание на отрезки, пропорциональные боковым сторонам своего угла.

Теперь уже несложно вычислить длину отрезка AC. В самом деле, поскольку

ВС/AC = BO/AO, то (ВС+AC)/AC = (BO+AO)/AO, откуда

(BO+AO)/AO = AB/AC или же (BO+AO)/AB = AO/AC ≈ (306+265)/153 = 571/153.

Таким образом, мы нашли отношение радиуса окружности к полустороне правильного 12-ти угольника. Чтобы двигаться дальше, необходимо также вычислить длину биссектрисы OC. Воспользовавшись теоремой Пифагора, можно записать

OC2 = AC2+AO2 или же OC2/AC2 = (AC2+AO2)/AC2 ≈ (1532+5712)/1532 ≈ 349 450/1532.

Архимед сразу дает готовый ответ OC/AC ≈ 5911/3/153, не объясняя, каким способом он извлек квадратный корень из 349 450.

Опустим остальные долгие выкладки, поскольку механизм дальнейших расчетов ничем не отличается от уже рассмотренного. Архимед последовательно показывает, что отношение радиуса к полусторонам правильных 24-х, 48-ми и 96-ти угольников равно соответственно 11621/8/153, 23391/4/153 и 46731/2/153. И каждый раз не дается никаких разъяснений, каким образом извлекаются корни из огромных чисел, как будто это достаточно простая и всем понятная операция.

Теперь уже возможно записать отношение всего периметра 96-ти угольника к диаметру окружности (двум радиусам), которое окажется большим, чем

(153·2·96)/(2·46731/2) > 31/7 = 310/70 = 3,142857….

Для определения нижнего предела Архимед вписывает в круг правильный шестиугольник и рассматривает далее только треугольник ONM, в котором последовательно строит биссектрисы внутреннего угла, получая каждый раз стороны многоугольников с удвоенным числом сторон (правая часть чертежа, снизу). Не будем повторять все преобразования пропорций, которые производил Архимед, предоставив любознательному читателю возможность повторить эту работу самостоятельно (необходимые вспомогательные линии присутствуют на чертеже). В итоге для вписанного 96-ти угольника отношение периметра к диаметру круга составило 310/71 = 3,140845…. Тут в процессе вычислений также безо всяких пояснений извлекались корни из огромных чисел.

Точность оценки числа π, которую сумел получить Архимед: 3,140845 < π < 3,142857, безусловно, превосходила любые возможные практические потребности того времени. Кроме того очень важно отметить тот факт, что задача вообще была сформулирована в терминах определения точности получаемого результата. Такая постановка проблемы являлась совершенно нехарактерной для античной математики и встречалась разве что в астрономии, где исследовались конкретные тела и расстояния, а не абстрактные идеальные объекты.

«Конические сечения» Аполлония

Сочинение «Об измерении круга» вызвало полемику со стороны другого известного геометра — Аполлония Пергского, который был на 20–25 лет моложе Архимеда, но практически не уступал ему в математическом даровании. Более того, их спор, вероятно, имело еще и политическую окраску.

Аполлоний родился в середине III века до нашей эры на юго-восточном побережье Малой Азии в городе Перге (небольшом поселении крупного государства со столицей в Пергаме), но большую часть жизни провел в Александрии, где сперва обучался у учеников Евклида, а затем постепенно приобрел славу заслуженного авторитета в геометрии и астрономии. Неизвестно, успел ли он пересечься в Музее с Архимедом, но друзьями они точно не являлись: в своей обширной переписке Архимед вообще ни разу не упоминает молодого талантливого современника. Главной работой Аполлония стали «Конические сечения», где ему удалось собрать и систематизировать всё известное по данному вопросу. Книга оказалась столь хороша, что очень быстро вытеснила все предшествующие труды по коническим сечениям — ни один из них, включая работу Евклида, не сохранился. Вплоть до нового времени «Конические сечения» Апполония считалась классическим пособием, которое следовало изучать после «Начал».

В конце жизни Аполлоний вернулся на родину, чтобы занять должность придворного математика царя Аттала I, который учредил у себя дом мудрости и библиотеку подобные Александрийскому Музею. Причина, по которой в Средиземноморье возник еще один центр учености, заслуживает отдельного внимания.

Мы уже видели, что эллины пытались совместными усилиями остановить стремительную римскую агрессию. Македония, Карфаген, Ахейский союз и Сиракузы решительно выступили за независимость греческого мира. Впрочем, наивно было ожидать, что множество непрерывно враждовавших средиземноморских государств сумеют забыть все разногласия и самоотверженно объединиться в решительный час. Птолемеи вообще не захотели открыто выступить против могущественного противника, а Этолийский союз и Пергам посчитали выгодным принять сторону Рима, дабы отомстить своим былым обидчикам.