Действуя совместно с римлянами, Аттал I нанес ряд поражений Филиппу V Македонскому и тем самым обеспечил долгий период процветания своему государству: в обмен на полную политическую покорность Рим отдавал Пергаму те земли, которые регулярно отбирал у Селевкидов.

Между усилившимся Пергамом и Александрией сразу же наметился экономический и политический антагонизм. Аталл желал распространить свое влияние на обширные территории Малой Азии, что побудило его превратить свою столицу в центр греческой культуры. При царском дворе создали условия для работы выдающихся философов и начали собирать внушительную коллекцию рукописей. Видя это, Птолемеи запретили вывоз папируса за пределы Египта, дабы их собственная библиотека и дальше оставалась непревзойденной. С образовавшимся дефицитом писчих материалов требовалось что-то сделать, и пергамские ремесленники усовершенствовали древнюю технологию выделки кожи. Так изобрели пергамент, и библиотека Аталла стала наполняться книгами, а дом мудрости — философами.

Именно в этот новый центр эллинистической мудрости, где образовалась кроме прочего и блестящая математическая школа, перебрался Аполлоний. Здесь им были написаны «Конические сечения», из которых четыре книги известны нам в греческом оригинале, три — только лишь в арабском переводе, а восьмая — утеряна, хоть и имеются ее реконструкции по кратким описаниям у других авторов.

В своем труде Аполлоний прежде всего дает общее определение кривых второго порядка: он берет произвольный конус и рассекает его под любым углом, причем рассматривает обе конические полости, что позволяет, наконец, получить вторую ветвь гиперболы. Из стереометрического определения выводятся симптомы кривых — словесные описания, аналогичные современным уравнениям.

Чтобы вывести симптом параболы, рассмотрим для начала конус рассеченной плоскостью так, что GL параллельна образующей AB. Точка L произвольно выбирается на оси сечения, точка K лежит на краю сечения, а полухорда LK параллельна основанию конуса. Проведем через L также и отрезок MN параллельный BC. Очевидно, что точки M, N и K лежат на одной окружности, а, значит, LK2 = ML·NL.

Теперь запишем следующие пропорции

ML/GL = BC/AC, откуда ML = GL·BC/AC;

NL/GA = BC/AC, откуда NL = GA·BC/AC.

Объединим все три соотношения вместе и получим

LK2 = GL·GA·BC2/AC2.

Заметим, что отрезок GL является переменным расстоянием от вершины сечения G до проекции точки K на ось сечения (до точки L), то есть, фактически — одной из координат. Переменный отрезок LK является второй координатой для точек рассматриваемой кривой. Комбинация GA·BC2/AC2 остается постоянной и зависит лишь от геометрии самого конуса, поэтому Аполлоний для удобства вводит отрезок GF = GA·BC2/AC2 (в нашем понимании это просто числовой коэффициент). В результате имеем окончательное уравнение вида

LK2 = GL· GF.

Если мы введем обозначения y = LK, x = GL, 2p = GF, то получим каноническое уравнение параболы в декартовых координатах y2 = 2p·x.

Разумеется, в «Конических сечениях» данный симптом описывается словесно: квадрат, построенный на полухорде LK, должен равняться прямоугольнику, построенному на GF (должны равняться заштрихованные площади, как это показано на чертеже в центре). Иными словами, парабола на плоскости строится следующим образом. Проводится горизонтальная ось. В начале координат (точке G) строится перпендикулярный оси отрезок GF. Далее к каждой координате L на оси прикладывается такой квадрат со стороной LK, площадь которого равна прямоугольнику со сторонами GF и GL. Само название «парабола» происходит от введенного Аполлонием термина παραβολή (приложение), поскольку построение точек этой кривой сводится к задаче о приложении.

Аналогичным образом для эллипса Аполлоний получает уравнение y2 = 2p·x — x2·p/a, причем p и a являются константами. Иными словами квадрат, построенный на полухорде LK, равен прямоугольнику, построенному на GF, но уменьшенному на некоторую величину (итоговой является площадь с мелкой штриховкой на чертеже справа). Таким образом, мы имеем задачу о приложении с недостатком. Отсюда происходит и название «эллипс», поскольку греческое έλλειψις означает «недостаток».

Задача о нахождении точек гиперболы сводится к приложению с избытком (ύπερβολή переводится как «избыток»), и описывается уравнением y2 = 2p·x + x2·p/a, то есть квадрат, построенный на полухорде LK, равен прямоугольнику, построенному на GF с некоторой дополнительной прибавкой (вся заштрихованная площадь на чертеже слева).

Далее Аполлоний рассматривает конические сечения в алгебраической логике (хотя и продолжает рассуждать геометрически), исследуя свойства полученных уравнений и показывая инвариантность введенных симптомов относительно преобразований систем координат. Хоть вся работа ведется в отрыве от стереометрии (конус был нужен лишь для получения параметров), но при этом доказывается полное тождество новых уравнений и старых определений.

В последующих частях книги Аполлоний описывает особые точки и линий на исследуемых кривых: фокусов, асимптот, полюсов и поляр, пересечений и касательных. Определяются площади сегментов, строятся нормали и эволюты, определяются максимумы и минимумы, а также решаются различные геометрические задачи.

Соперничество Архимеда и Аполлония

Почти сразу Аполлония обвинили в плагиате: якобы он просто переработал неопубликованные труды Архимеда. При этом уже в предисловии «Конических сечений» указывается, что автор по большей части лишь систематизировал и обобщил открытия своих предшественников. Отсюда можно заключить, что скандал раздували греческие математики, невзлюбившие Аполлония за его переход на сторону римской партии. В действительности же ситуация была скорее обратной, и он скромно преуменьшал собственные достижения, а не приписывал себе чужие.

Судя по всему, в реальности имело место здоровое заочное соперничество двух великих математиков. Так, в ответ на работы Архимеда «Об измерении круга» и «Исчисление песчинок» (посвященной в частности наименованию больших чисел), Аполлоний написал сочинение с сатирическим названием «Ускорение родов», где иным путем нашел более точное значение для π, а также предложил достаточно удобную систему обозначения больших чисел, продемонстрировав заодно виртуозные способности к вычислениям.

В ответ Архимед опубликовал свою знаменитую задачу о быках, которая хоть и была отправлена Эратосфену и другим александрийским математикам, но косвенным адресатом явно подразумевала Аполлония. Условия этой занимательной задачи были следующими. Бог Гелиос пасет на Сицилии четыре стада: белое, черное, рыжее и пестрое. В каждом стаде присутствуют быки и коровы. При этом известно, что

— число белых быков равно (1/2+1/3) от черных быков и рыжим быкам;

— число черных быков равно (1/4+1/5) от пестрых быков и рыжим быкам;

— число пестрых быков равно (1/6+1/7) от белых быков и рыжим быкам.

— число белых коров равно (1/3+1/4) от темного стада;

— число черных коров равно (1/4+1/5) от пестрого стада;

— число пестрых коров равно (1/5+1/6) от рыжего