для христианской книги были использованы не все листы из рукописи письма к Эратосфену, и поэтому там отсутствуют доказательства теорем методом исчерпывания — к счастью, именно они не представляют для нас особого интереса.

Другие математические работы Архимеда. Ракушки. Коноиды и сфероиды

Не менее интересные результаты были получены Архимедом в работе «О линиях в форме ракушек», название которой обычно переводят как «О спиралях». В этом труде рассматривается кривая, образованная равномерным движением точки по равномерно же вращающейся прямой. В результате радиус-вектор ρ данной точки возрастает пропорционально углу поворота ϕ, а уравнение полученной спирали в полярных координатах имеет вид

ρ = k·ϕ.

Основная цель Архимеда — определить площадь первого витка, которая, как оказалось, составляет треть от площади круга с радиусом, равным радиус-вектору спирали в конце первого оборота. Доказывается этот факт следующим образом.

Разделим круг на n равных секторов и обозначим за R радиус-вектор спирали в конце первого витка. Тогда для первого сектора ρ = R/n, для второго — ρ = 2·R/n, для третьего — ρ = 3·R/n, и так далее вплоть до последнего сектора, на котором, что очевидно, ρ = n·R/n=R. Теперь впишем в спираль (левый чертеж) и опишем вокруг спирали (правый чертеж) дополнительные сектора так, как это показано на рисунке. Определим площади описывающих спираль заштрихованных секторов (правый чертеж). Площадь первого самого маленького такого сектора равна π·ρ2/n = π·R2/n3, площадь второго сектора равна π·22·R2/n3 и так далее вплоть до последнего заштрихованного сектора, площадь которого равна π·n 2·R2/n3.

Просуммировав площади всех секторов и вынеся за скобку множитель π·R2/n3, мы получим

(π·R2/n3)·(12 + 22 + 32 +…+ n2),

причем в правой скобке получается ряд, сумма которого, как знал Архимед (и мы говорили об этом выше), при бесконечно большом n равна n3/3. Таким образом, для правого чертежа получается, что площадь всех описывающих спираль заштрихованных секторов всегда больше π·R2/3 (предельный переход не совершался, поэтому нигде не говорилось, что дуги рассматриваемых секторов когда-либо совпадут со спиралью).

Аналогичным образом показывалось, что площадь всех вписанных в спираль секторов всегда меньше π·R2/3, причем разность между суммарными площадями описанных и вписанных секторов можно сделать сколь угодно малой, а, значит, площадь витка спирали не может быть ни больше, ни меньше π·R2/3, что и требовалось доказать. Впрочем, константу π Архимед не использует, и просто говорит о том, что площадь первого витка спирали равна трети площади первого круга.

Похожим образом Архимед строит решения и в своей замечательной работе «О коноидах и сфероидах», которая также была отправлена Досифею в Александрию. Из предисловия мы узнаем, что данное сочинение является результатом многолетних трудов, потребовавших немалого усердия. Главной их целью являлось нахождение объемов сегментов эллипсоида, параболоида и гиперболоида вращения. Архимед показывает, что этот объем полностью определяется высотой и площадью основания рассматриваемых сегментов.

Впрочем, ни одного из указанных терминов Архимед еще не употреблял: эллипс он называл сечением остроугольного конуса, параболу — сечением прямоугольного конуса, а гиперболу — сечением тупоугольного конуса, причем о второй ее ветви он еще не знал. Соответственно, параболоид вращения у Архимеда назван «прямоугольным коноидом», а гиперболоид — «тупоугольным коноидом». Судя по всему, данные тела ранее никем не рассматривались. При этом для эллипсоида Архимед, вслед за атомистами, употребляет термин «удлиненный сфероид», а не «остроугольный коноид», как можно было бы предположить.

Не станем рассматривать все содержание данной работы, а наметим лишь общий план доказательств Архимеда, предоставив любознательному читателю возможность самостоятельно завершить все необходимые выкладки, поскольку они осуществляются уже разобранным выше способом и требуют лишь техники.

Объемы рассматриваемых тел определяются следующим образом. Вокруг сегмента описывается ступенчатое тело, состоящее из n поставленных друг на друга цилиндров. Затем в этот же сегмент вписывается аналогичное ступенчатое тело. Ниже на чертеже все указанные тела показаны одновременно. Высоты всех цилиндров равны между собой и составляют 1/n от высоты всего сегмента H. Легко увидеть, что вписанное тело отличается от описанного лишь на один самый большой нижний цилиндрик, причем с увеличением n эта разница может быть сделана сколь угодно малой. Понятно, что объемы двух ступенчатых тел представляют собой верхний и нижний пределы объема рассматриваемого сегмента.

Поскольку высоты всех цилиндров равны, то их объемы относятся как площади оснований, то есть — как квадраты радиусов оснований или же, в нашем случае, квадраты ординат. Поскольку античные определения конических сечений фактически представляли собой аналоги наших современных канонических уравнений, то можно было записать сумму для всего объема.

Так, для параболоида (если примем уравнение параболы как y = b·x2) квадраты ординат равны y/b, а объем ступенчатого тела в таком случае определялся как

V = (H/n)·π·(H/n+2·H/n+3·H/n+…+n·H/n)/b = (H2/n2)·π·(1+2+3+…+n)/b.

Здесь мы вновь получили уже знакомый нам ряд, сумма которого при увеличении n стремится к n2/2, поэтому теперь можно записать

V= 0,5·π·(H2/b).

Из уравнения параболы следует, что квадрат радиуса основания сегмента R2 = H/b, поэтому окончательно запишем

V= 0,5·π·H·R2.

Таким образом, мы получили, что объем сегмента параболоида вращения равен половине от объема описанного цилиндра с высотой H и радиусом основания R, либо же 3/2 от объема вписанного конуса.

Соотношения для гиперболоида и эллипсоида находятся по схожему принципу.

Вычисление Архимедом числа пи

Выше мы уже неоднократно говорили, что Архимед нигде не использует обозначения для числа π. Кроме того, можно заметить, что он никогда не вычисляет непосредственно площади и объемы (как это делаем мы по формулам), но всегда находит лишь их отношения к каким-либо иным фигурам и телам. Собственно под квадратурой параболы нужно понимать просто сведение площади сегмента параболы к площади известного квадрата, либо же треугольника, который легко привести к квадрату. В античные времена «правильной» считалась лишь такая математика, которая рассматривала только соотношения, не касаясь вопроса об истинных размерах и количествах.

Однако Архимед, с его склонностью к механике, всегда испытывал повышенный интерес к вычислениям и всему, что греки относили к логистике. Сегодня любой школьник способен безо всяких технических средств произвести на бумаге достаточно сложные расчеты, пользуясь нехитрыми правилами для обращения с десятичными числами. Поскольку мы уже ознакомились с греческой геометрической алгеброй, и поэтому читатель должен понимать, сколь нетривиальными являлись все приведенные выше расчеты в их оригинальном виде. Однако