— число рыжих коров равно (1/6+1/7) от рыжего стада.

Требуется исчислить число голов в стадах Гелиоса. По мнению Архимеда, каждого, кто сможет отыскать решение самостоятельно, уже нельзя будет называть невеждой.

Мы сразу привели формализованное условие в стандартном современном виде, тогда как оригинальный текст представляет из себя стихотворение, в котором даже после перевода не так-то просто разобраться. Сама задача сводится к системе семи уравнений с восемью неизвестными, а наименьшее из возможных решений дает общий размер всех четырех стад, ни много ни мало, в 50 389 073 головы. Произвести все кропотливые вычисления, несомненно, было непросто, но, тем не менее, — вполне реально для античных математиков.

Для тех, кто желает прослыть настоящим мудрецом, Архимед приводит дополнительное условие: во-первых, общее количество белых и тёмных быков представляет собой квадратное число, а, во-вторых, общее количество пёстрых и рыжих быков — треугольное число. В такой постановке задачу удалось решить лишь в XX веке с помощью компьютера. Суммарное число голов скота в данном случае выражается числом из 206 545 десятичных знаков.

Мы не знаем, получилось ли у Эратосфена и Аполлония либо у кого-нибудь другого справиться с полной задачей, но, вероятнее всего, решения не было даже у самого Архимеда. В то время просто отсутствовали способы хотя бы обозначить числа таких больших порядков, не говоря уже о вычислениях.

Неизвестно, каким образом Аполлоний сделал все свои открытия. Его книги написаны ясно и логически строго, но вот понять ход мыслей непросто — он полностью сокрыт за виртуозными построениями геометрической алгебры. Нигде не указывается, как именно автор пришел к необходимости делать именно такие построения, а не какие-либо иные. Вероятно, как и в случае с Архимедом, использовался какой-то упрощенный метод математического анализа, чтобы заранее понимать, к какому результату необходимо прийти. Хотя работы Аполлония активно изучались и комментировались, но его исследования не получили, да и не могли получить, почти никакого развития. Конические сечения применялись античными, а затем и мусульманскими учеными в основном для решения кубических уравнений, а также в оптике параболических зеркал. Все это не имело особого практического значения. Лишь в XVII веке, когда Ферма и Декарт создали аналитическую геометрию, теория конических сечений получила, наконец, свое развитие в работах Галилея, Кеплера и Ньютона.

Математика в римский период

Удивительный расцвет греческой геометрии в III веке до нашей эры происходил на фоне общего упадка классической культуры. Птолемеи и Аттал I смоги обеспечить относительно спокойную жизнь в своих столицах и организовать благодатные условия для плодотворной работы придворных ученых, которые не столько приносили реальную пользу, сколько развлекали царей и тешили их самолюбие. По традиции считалось, что достойных правитель должен быть сведущ в философии, поэтому правители эллинистической эпохи иной раз действительно старались приобщиться настоящей мудрости, однако же, будучи, абсолютными властителями своих земель, не допускали никакого излишнего вольнодумства и почти всегда оказывались падкими на лесть и суеверия. Развиваться могла лишь полностью оторванная от реальной жизни теоретическая математика, а у практика-Архимеда не нашлось ни последователей, ни учеников. Далее началось неминуемое угасание и увядание — сочинения Евклида, Архимеда и Аполлония стали каноническими на два тысячелетия. Какие-то геометрические исследования касались теперь лишь частных и специальных вопросов (например, придумывались новые способы решения проблемы удвоения куба), но в целом новые математики лишь комментировали и дополняли классические тексты, даже не пытаясь двигаться дальше.

С началом II века до нашей эры в Средиземноморье началась эпоха господства римлян, которые пренебрежительно относились ко всякой теоретической науке, а математику считали полезной лишь потому, что она приносила пользу в военном планировании, строительстве или землемерии. Сложно найти аргументы против подобной точки зрения: даже большая часть теорем Евклида, не говоря уже об открытиях Архимеда или свойствах конических сечений, никак не могли быть применены на практике, поскольку не существовало реальных задач, требующих столь изощренных и точных решений. Геометрия греков представляла собой скорее часть их культуры, чем науку в нашем современном понимании, а Рим считал себя вправе не уважать обычаи завоеванных народов, ведь они не помогли им сохранить свободу, то есть — оказались бесполезны. Поэтому нам неизвестен ни один выдающийся математик-римлянин, а вся оригинальная геометрия латыни представляет собой справочники для землемеров, содержащие упрощенные формулы с варварскими приближениями.

Разумеется, талантливые и даже выдающиеся эллины продолжали рождаться, причем даже в римскую эпоху их было не мало. Старые философские школы обучали всех желающих (и готовых заплатить), а египетская Александрия еще много веков оставалась центром учености и мудрости. Однако же все новые математики являлись лишь эпигонами, пытающимися систематизировать и приспособить наследие прошлого под текущие нужды. Кстати, это у них неплохо получалось.

Так, Герон Александрийский, живший в самом начале нашей эры, в книгах «Метрика» и «Геометрия» приводит множество точных и приближенных формул, которые могут оказаться полезными на практике, а в труде «О диоптре» им изложены правила земельной съемки. Еще больше занимательных сведений включил в свое «Математическое собрание» Папп Александрийский, живший в конце III начале IV века нашей эры. Его работа является полнейшей хрестоматией по классической геометрии античности. Тем не менее, практически весь материал указанных сочинений заимствован у ранних авторов (даже знаменитая формула Герона была известна ещё Архимеду) и содержит очень мало новых оригинальных результатов.

С другой стороны необходимо признать, что в рамках существовавших подходов и средств было сделано, пожалуй, всё возможное, и даже кое-что сверх того. Оставаясь в рамках исключительно геометрии, нельзя было уже двигаться дальше. Кроме того и сама социальная обстановка не требовала большего — относительно узкий круг гениальных профессионалов творил и работал в первую очередь для своих коллег и соратников. Оригинальные классические математические сочинения невероятно трудны. Те из древних, кто восхищался, например, ясностью доказательств Архимеда, никогда не читали его работ, в которых, как и у Евклида или Аполлония, доказательства длинны, запутанны и берутся как бы из ниоткуда, безо всякого намека на то, как авторы сумели их отыскать. Сегодня мы читаем переработанные издания древних математических текстов, которые появились на свет благодаря тому, что античные и средневековые комментаторы веками растолковывали и дополняли старинные рукописи, а ученые нового времени переводили геометрическую алгебру и словесные преобразования на язык современной нам символики. В древности же даже даровитый математик вынужден был тратить всю свою жизнь просто на то, чтобы усвоить уже существующую мудрость своих великих предшественников. За века римского господства государственное устройство существенно усложнилось, поэтому многим людям требовалось уметь считать, чертить, планировать и проектировать, но на