Приведенные выше рассуждения допускают непосредственное обобщение па случай единичного куба и более высоких размерностей.

Если одномерный отрезок неограниченно продолжить вправо за точку B и влево за точку A, так что длина его превзойдет любое сколь угодно большое число, то получится одномерное пространство. Аналогичным образом двумерное, трехмерное и четырехмерное пространства мы получим, неограниченно продолжив в обе стороны единичный квадрат, куб и четырехмерный куб.

Одномерный единичный отрезок отделен от остальной части одномерного пространства, в котором он лежит, двумя точками. Двумерный единичный квадрат отделен от остальной части двумерного пространства, в котором он расположен, четырьмя отрезками (сторонами). Трехмерный единичный куб отделен от остального пространства шестью квадратами. Аналогично четырехмерный единичный куб отделен от остальной части четырехмерного пространства, в котором он лежит, восемью кубами. Предположим, что мы хотим построить замкнутую фигуру любого числа измерений в пространстве того же числа измерений. Тогда в одномерном пространстве нам понадобятся для этого две точки, в двумерном пространстве — по крайней мере три прямые, в трехмерном пространстве — по крайней мере четыре плоскости и в четырехмерном пространстве — по крайней мере пять трехмерных пространств.

Так же как и в единичном отрезке, квадрате, кубе и четырехмерном кубе, из одной точки пространства в другую мы можем попасть, двигаясь вдоль фиксированных взаимно перпендикулярных направлений, число которых совпадает с размерностью пространства.

Рис. 5.

Время можно представить в виде одномерного пространства, ибо оно течет лишь в одном направлении из бесконечно далекого прошлого в бесконечно удаленное будущее (рис. 5). Настоящее время можно изобразить точкой, перемещающейся с постоянной скоростью по шкале времени (или неподвижной точкой, относительно которой равномерно перемещается шкала времени). Любого момента времени можно достичь, пройдя определенное расстояние (годы, месяцы и т. д.) от некоторой выбранной точки (начала новой эры).

Любая часть земной поверхности, если рассматривать ее как плоскость, представляет собой область двумерного пространства. Следуя по меридианам и параллелям, мы всегда можем добраться до любой точки земной поверхности. Примером трехмерного пространства может служить пространство, в котором находится наша Вселенная. Представить себе наглядно четырехмерное пространство невозможно.

Рис. 6.

Если два отрезка AB и B'А', принадлежащие одному и тому же одномерному пространству, симметричны относительно точки O этого пространства (рис. 6), то отрезок AB нельзя передвинуть в этом пространстве так, чтобы соответственные точки симметричных отрезков совпали (точка A с точкой A', точка B с точкой B' и т. д.). Для того чтобы совместить соответственные точки симметричных отрезков, необходимо повернуть отрезок AB в двумерном пространстве вокруг точки O как вокруг центра. Грубо говоря, отрезок AB нужно поднять в двумерное пространство, перевернуть и лишь после этого наложить на отрезок B'А'. Если два треугольника, лежащих в одном и том же двумерном пространстве, симметричны относительно прямой (рис. 7), то наложить их так, чтобы соответственные линии и точки совпали, можно лишь в том случае, если мы повернем один треугольник в трехмерном пространстве вокруг оси симметрии. Если не стремиться к особой строгости, то можно сказать, что один треугольник необходимо поднять над плоскостью в трехмерное пространство, перевернуть и лишь тогда наложить его на другой треугольник. Если два многогранника лежат в одном и том же трехмерном пространстве и симметричны относительно плоскости (рис. 8), то совместить их так, чтобы соответственные точки, ребра и плоскости совпали, можно лишь в том случае, если мы повернем один многогранник в четырехмерном пространстве вокруг плоскости симметрии. Грубо говоря, это означает, что мы поднимаем многогранник в четырехмерное пространство, поворачиваем его там и опускаем снова в исходное трехмерное пространство. Правая рука и ее зеркальное отражение (левая рука) симметричны относительно плоскости зеркала, поэтому, повернув правую руку вокруг плоскости зеркала в четырехмерном пространстве, мы могли бы превратить ее в левую. При таком повороте правая перчатка стала бы левой. Иначе говоря, бросив правую перчатку в направлении четвертого измерения и поймав ее вновь, мы увидим, что она стала левой.

Рис. 7.

Рис. 8.

Мы не можем указать, в каком направлении проходит четвертое измерение, или определить, существует ли четырехмерное пространство, даже если оно находится совсем рядом, так же как двумерные люди, обитающие в двумерном пространстве, не могут указать, в каком направлении проходит третье измерение или обнаружить существование трехмерного пространства, даже если их собственное пространство вложено в это трехмерное пространство и является его частью (подобно тому, как плоскость является частью трехмерного пространства). Предположим, что двумерное пространство, моделью которого может служить страница нашей книги, населено двумерными существами. Эти существа обладают длиной и шириной, способны передвигаться в длину и ширину и, возможно, даже наделены сознанием. Обитатели двумерного мира не имеют толщины, они не могут ни приподняться над страницей, ни опуститься под нее и лишены способности даже мысленно представить себе направление, перпендикулярное плоскости страницы. Двумерные обитатели страницы не знают, что такое «верх» и «низ». Предположим, что они наделены интеллектом, позволяющим им исследовать свой мир в такой же мере, в какой человек исследует свою Вселенную. Предположим, что у обитателей плоского мира имеются дома, амбары и что жизнь на плоскости течет столь полно, сколь это вообще возможно на плоскости. Дома и амбары в плоском мире не будут иметь ни крыш, ни потолков, а лишь одни стены. Для того чтобы отделить любой предмет па плоскости от остальной части пространства, достаточно провести три прямые. Сам обитатель плоского мира сможет увидеть своего соседа лишь в виде отрезка, так как будет смотреть на его многоугольный контур в плоскости многоугольника. До внутренних точек многоугольника (внутренностей обитателя плоского мира) можно добраться, лишь проникнув сквозь его контур, ибо в плоском мире, как уже говорилось, не существует понятий верх и низ. Убедить обитателя плоского мира в том, что третье измерение существует, прикасаясь к внутренним точкам его многоугольника или пытаясь вывести его из плоскости, — задача совершенно безнадежная. Даже если обитатель плоского мира воспримет рассуждения по аналогии относительно свойств третьего измерения, сама идея о том, что кто-то может заглянуть в его внутренности, не может не вызвать у него бурного протеста. Даже под прямым углом к двум известным ему измерениям