об устройстве предмета. Математик, взглянув на график, получает весьма точное представление о свойствах уравнения, описывающего соответствующую кривую.

Иногда у инженера или математика возникает необходимость наглядно изобразить алгебраическое уравнение, содержащее три неизвестных, например уравнение x + у + z = 10. Рассуждая по аналогии с уравнением, содержащим два неизвестных, мы можем получать значения z, соответствующие заданным значениям неизвестных x и у. Однако значения переменной z нельзя изобразить на одной плоскости со значениями переменных x и у. Нам необходимо иметь третью ось, ось z, вдоль которой мы будем откладывать значения z, и эта ось должна быть перпендикулярна осям x и у и проходить через точку их пересечения. Введя ось z, мы сможем изобразить наглядно уравнение с тремя переменными так же, как ранее мы изображали уравнение с двумя переменными. Придавая произвольные значения переменным x и у, мы будем вычислять соответствующее им значение переменной z и откладывать все три значения x, у и z, удовлетворяющие уравнению, вдоль соответствующих осей.

Рис. 2.

Наглядное представление уравнений с двумя и тремя неизвестными настолько помогает в решении трудных задач, что математик склонен интерпретировать аналогичным образом уравнение с четырьмя переменными, которые иногда встречаются в различных физических задачах. Для того чтобы наглядно изобразить уравнение вида x + y + z + w = 16, нам необходимо иметь четвертую ось, ось w, вдоль которой мы сможем откладывать значения переменной w. Такая ось должна быть перпендикулярна осям x, у и z в точке их пересечения. Дойдя в своих рассуждениях до этого места, математики обнаруживают, что зашли в тупик, ибо не могут построить четыре взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в одной точке. Это ограничительное свойство нашего пространства не позволяет математикам наглядно изображать уравнения с четырьмя переменными так же, как они изображали уравнения с двумя и тремя переменными, но это отнюдь не мешает им продолжать изучение уравнений с четырьмя неизвестными.

Люди постоянно размышляют о том, что бы произошло, если бы события развивались иначе, чем они развивались в действительности. Они пытаются предугадать, как развивалась бы история, если бы Наполеон выиграл битву при Ватерлоо. Физик вычисляет количество тепла, которое бы выделилось, если бы Земля внезапно остановилась на орбите. Не отстает от физика и математик. Не имея возможности построить четыре взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в одной точке, он тратит свое драгоценное время, пытаясь выяснить, что произошло бы в том случае, если бы ему все же удалось построить свои четыре перпендикуляра. Эти размышления и приводят математика к понятию четырехмерного пространства.

Возможно, что читатель, впервые услышавший о четырехмерном пространстве, составит себе неверное представление о нем. Когда неспециалист слышит о том, что в четырехмерном пространстве можно построить четыре взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в одной точке, он тотчас же пытается наглядно представить себе эти четыре перпендикуляра. Разумеется, все попытки оказываются бесплодными, и поэтому неспециалист всякое упоминание о четвертом измерении считает жульничеством или бессмыслицей. Однако столь суровый приговор несправедлив, ибо неспециалист неправильно понял то, что имеет в виду, говоря о четвертом измерении, математик. Математик отнюдь не желает сказать, что четыре взаимно перпендикулярные прямые действительно можно построить. Такое построение, насколько можно судить, действительно невозможно. Однако вполне допустимо спросить себя, что произошло бы в том случае, если бы нам все же удалось осуществить его. Именно это и не более того пытается сделать математик.

Реальная, физическая, возможность и возможность математическая не всегда совпадают. Правильное математическое утверждение нередко может не допускать физическую интерпретацию. Например, так произошло с пятым постулатом Евклида. Утверждение становится возможным с математической точки зрения, если оно непротиворечиво и если оно не противоречит другим допущениям данной теории. Отец геометрии Евклид утверждал в своем пятом постулате, что через данную точку можно провести лишь одну прямую, параллельную некоторой заданной прямой. В первой половине прошлого века русский математик Лобачевский усомнился в правильности постулата Евклида. Многократные попытки доказать этот постулат, рассуждал Лобачевский, неизменно оканчивались неудачей, поэтому можно предположить, что постулат неверен. Будем считать, что через данную точку можно провести не одну, а но крайней мере две разные прямые, не пересекающие данной прямой. Пользуясь чисто математическими рассуждениями, Лобачевский построил целую геометрию, основанную на своей новой аксиоме. Сама по себе эта геометрия абсолютно непротиворечива и поэтому математически возможна. Однако евклидова геометрия проще, привычнее и подтверждается даже самыми точными измерениями. Мы по-прежнему продолжаем пользоваться ею во всех измерениях и расчетах, так как, насколько можно судить по эмпирическим данным, евклидова геометрия правильна.

Наш опыт учит нас, что пространство трехмерно, однако утверждение о трехмерности пространства нельзя доказать абсолютно строго. Его следует принять за аксиому. Если бы какой-нибудь новый Лобачевский потребовал бы у нас подтверждений правильности нашей аксиомы, то мы не могли бы привести никаких убедительных доказательств. Новоявленный преобразователь геометрии мог бы усомниться в трехмерности пространства и предположить, что пространство четырехмерно. Приняв допущение об истинности новой аксиомы, он смог бы путем дедуктивных рассуждений построить целую геометрию. Новый Лобачевский вывел бы формулы для площади треугольников, объемов тел или для направления касательной к кривой. Пространство четырех измерений математически возможно, поскольку все утверждения и умозаключения относительно его внутренне непротиворечивы и согласуются с исходными аксиомами, однако никакие рассуждения не могут доказать, что четырехмерное пространство действительно существует, так же как Лобачевский не мог бы доказать, что кому-нибудь удастся провести через точку по крайней мере две прямые, не пересекающие третьей.

При рассмотрении уравнений с двумя переменными мы можем, не прибегая к графикам, установить многие свойства кривых, соответствующих этим уравнениям. Производя над алгебраическим уравнением различные действия, математический анализ позволяет вычислять длину любого отрезка кривой, устанавливать направление касательной к кривой в любой точке или находить точки пересечения двух кривых. Метод изучения свойств четырехмерного пространства во многом аналогичен описанным выше методам изучения свойств двумерных и трехмерных пространств. Мы знаем, что любое уравнение с четырьмя переменными соответствует некоторой конфигурации в пространстве четырех измерений. Применяя к уравнению методы аналитической геометрии и математического анализа, мы можем определить свойства интересующей нас плоской фигуры, трехмерного тела или четырехмерного гипертела, описываемых данным уравнением. Для того чтобы изучить свойства четырехмерных тел, нам вовсе не нужно строить их. Так же как мы изучали свойства кривых и поверхностей по их уравнениям, мы можем определить свойства конфигурации, описываемой уравнениями с четырьмя переменными.

Некоторые свойства четырехмерной геометрии настолько своеобразны и неповторимы, что кажутся непостижимыми. Например, полую гибкую сферу в пространстве четырех измерений можно было бы вывернуть наизнанку, не разрывая и