не растягивая ее поверхность. Если какое-нибудь тело могло бы двигаться в пространстве четырех измерений, то его нельзя было бы удержать четырьмя стенами комнаты и, пройдя ничтожный отрезок в неведомом нам четвертом измерении, такой предмет легко становился бы невидимым. В пространстве четырех измерений предмет можно вращать вокруг плоскости, хотя в пространстве трех измерений предмет может вращаться лишь вокруг прямых или точек.

Подробное изучение столь необычных свойств этого гипотетического пространства, представляющее несомненный интерес, не входит в задачу настоящей статьи. Геометрические доказательства потребовали бы знания довольно тонких математических фактов, а чудес, которые мог бы совершить каждый, кто владеет тайной проникновения в четвертое измерение, хватило бы на несколько популярных статей.

Часто приходится слышать вопрос: существует ли в действительности четвертое измерение? Ответ на этот вопрос зависит от того, что мы понимаем под «существованием». Если существование означает, что мы можем составить полное представление о предмете и это представление не будет противоречить другим ранее установленным представлениям и результатам нашего опыта, то можно сказать, что четырехмерное пространство существует. С другой стороны, если под существованием понимать объективную реальность, то на приведенный выше вопрос можно ответить лишь одно: не знаем.

Все наше знание в конечном счете берется из опыта, по количество и степень воспринимаемого нами ограничено несовершенством наших органов чувств. Существует много явлений, не воспринимаемых непосредственно нашими органами чувств, о которых мы знаем лишь косвенно. Нам известно, что в инфракрасной и в ультрафиолетовой областях Спектра существуют световые волны, невидимые нашему глазу. Обычно в тех случаях, когда какое-нибудь явление недоступно наблюдению, это воспринимается как свидетельство того, что оно не существует. Например, в течение долгого времени, исходя из накопленного опыта, полагали, что способностью самостоятельно передвигаться с места на место обладают лишь животные, но не растения. Однако заглянув в усовершенствованный микроскоп, мы увидели, что микроскопические растения обладают не меньшей подвижностью, чем микроскопические животные. Поэтому не всегда ненаблюдаемое явление следует считать несуществующим. Утверждая, будто ненаблюдаемое явление не существует, мы уподобляемся ребенку, который считает, что у всех людей достаточно пищи, а у всех детей непременно имеются няни. Ребенок рассуждает так потому, что не видел ничего другого. Мы, взрослые, обычно рассуждаем так же.

Хотя мы не можем догматически отрицать существование четырехмерного пространства, несмотря на то что такое пространство недоступно нашему непосредственному восприятию и нам трудно представить себе его наглядно, все же мы можем с уверенностью сказать, что наша Вселенная, по крайней мере в известной нам части, и все сущее в ней в силу какого-то не известного нам закона ограничено пространством трех измерений.

Уильям С. Дэвидсон

Восходящая шкала размерностей

Приступая к выяснению возможности существования размерности, выходящей за рамки наших современных представлений, нам необходимо воспользоваться аналогией. Сравнивая пространства одного, двух и трех измерений, мы сможем подметить то общее, что позволит нам вывести формулы и, глядя на них, высказать абстрактные суждения о свойствах того или иного тела в четырехмерном пространстве. Дабы не впасть в противоречие, нам необходимо быть столь же осторожными в своих умозаключениях, как астроному, пытающемуся высказывать какие-то утверждения относительно обитателей далекой планеты. Рассматривая условия, делающие возможной жизнь на его собственной Земле, он может подметить ряд закономерностей и попытаться привести их в полную гармонию с условиями, господствующими на интересующем его небесном теле.

Хотя реальные изображения прямых и точек имеют ощутимый размеры по всем направлениям, не следует забывать, что всюду далее мы будем иметь в виду абстрактные прямые и точки. Последние характеризуются лишь положением в пространстве, а первые мы определяем как линии кратчайшего расстояния между двумя точками. Говоря о поверхности, мы также будем иметь в виду лишь абстрактную, воображаемую поверхность независимо от того, располагается ли она свободно в пространстве или ограничивает какое-нибудь тело. Такая поверхность полностью лишена толщины, и бесконечное множество абстрактных поверхностей, наложенных друг на друга, имело бы нулевую суммарную толщину.

Рис. 1.

Мы начнем с того, что рассмотрим, как ограничено восприятие пространства у существа, живущего в мире одного измерения, то есть на бесконечной кривой в пространстве, конечный отрезок AB которой мы условно изобразим на рис. 1. Предположим, что в различных точках этой кривой находятся три существа a, b и с, причем существо а имеет вид точки, существо b — небольшого отрезка, а существо с по форме напоминает существо b, но имеет несколько большую длину. Мы различаем существа а, b и с по форме потому, что наблюдаем за ними извне. Однако существу а другое существо b представляется в виде точки, так же как существу b — существо с. Такое «точечное» восприятие обусловлено тем, что одномерным существам известно лишь расстояние (вдоль кривой) и положение на ней. Все остальное, что так или иначе связано с каким-нибудь третьим геометрическим свойством, для одномерных обитателей кривой лишено смысла. Существо а, наблюдая существо b, может видеть его лишь в виде точки, потому что смотрит «в торец» отрезку b. Предположим, что существа а, b и с сохраняют свое относительное расположение на кривой на протяжении всей своей жизни. Поскольку каждое из существ в этом случае будет располагать лишь весьма ограниченными сведениями о жизни двух других обитателей кривой, то они будут строить различные умозаключения о том, что представляют собой их соседи. Так, существо а, сознавая собственную точечную форму и видя существо b лишь с «торца», сделает вполне логичный, хотя и неправильный вывод: на кривой обитают лишь точечные существа. Существо b, сознавая свою длину и видя своих соседей а и с в виде точек, решит, что оно удостоилось особой милости творца, вознесшего его в нарушение всех законов природы над его собратьями по пространству.

На рис. 1 мы изобразили произвольную кривую, или траекторию, в пространстве, но для того, чтобы избежать излишних усложнений на последующих рисунках, мы в дальнейшем условимся изображать одномерное пространство в виде прямой. Отрезок прямой можно рассматривать как траекторию точки, ограниченную ее начальным и конечным положением в пространстве. Отрезок прямой — это частный случай движения точки из одного положения в другое по кратчайшему пути AB (рис. 2). Если отрезок AB мы передвинем по кратчайшему пути из начального в конечное положение A'В', то получим плоскую фигуру — прямоугольник. Если отрезок AB переместится по кратчайшему пути па расстояние, равное своей длине (рис. 3), то получится плоская фигура, которая называется «квадрат». Таким образом, квадрат можно назвать элементарной фигурой в двумерном мире, так же как отрезок прямой мы называем элементарной фигурой в одномерном