Рис. 2.

Рис. 3.

Переходя от линейного мира к плоскому, мы обнаруживаем, что число различных форм геометрических фигур неизмеримо возросло. Так, в нашем двумерном мире могут существовать не только обитатели, имеющие вид точек и прямолинейных отрезков, но и многочисленные другие фигуры, среди которых мы встретим немало знакомых, например квадрат, прямоугольник и окружность. Как и обитатели одномерного мира (рис. 1), двумерные существа могут знакомиться с бесконечным разнообразием окружающих их форм или устанавливать степень родства с другими двумерными существами лишь путем тщательного изучения конфигурации своих соседей. Некоторое представление о том, сколь утомительно однообразное зрелище открылось бы взору наблюдателя в таком двумерном мире, можно получить, если вырезать из бумаги различные по форме фигуры и рассматривать их с «торца». Узкая длинная полоска представилась бы наблюдателю в виде точки или прямолинейного отрезка в зависимости от того, откуда бы он смотрел на полоску: с конца или сбоку. Квадрат, окружность, треугольник или прямоугольник показались бы нашему наблюдателю прямолинейными отрезками различной длины. Неплохо было бы наделить по крайней мере несколько обитателей двумерного мира разумом, способным воспринимать математические истины. Такие «математически образованные» плоские существа могли бы установить простейшие геометрические свойства фигур. Предположим, что обитатели двумерного мира столкнулись с проблемой доказательства по методу Евклида равенства треугольников ABC и abc (рис. 4), относительно которых известно следующее: сторона AB равна стороне ab, сторона AC равна стороне ac, а угол CAB равен углу cab. Двумерные геометры вполне справились бы с совмещением треугольников ABC и abc, поскольку для этого треугольники не нужно выводить из плоскости.

Рис. 4.

Расположим теперь те же треугольники так, как показано на рис. 5. При тех же предположениях относительно равных элементов треугольников ABC и abc может показаться, будто этот случай ничем не отличается от случая, изображенного на рис. 4. Однако более внимательное рассмотрение показывает, что прежде чем наложить один треугольник на другой, его необходимо перевернуть. Ясно, что такое переворачивание требует трех измерений и предложенное Евклидом доказательство равенства треугольника выходило бы за пределы понимания существ, владеющих лишь понятиями «длина» и «ширина».

Рис. 5.

Предположим теперь, что наш двумерный мир «пронзен» прямой LN (рис. 6), изготовленной из абсолютно проницаемого материала. Прямую LN можно перемещать параллельно самой себе, не вспарывая при этом плоский мир и не извлекая ее из плоскости. Ясно, что обитатели двумерного мира смогут увидеть лишь точку P. Существа подобного вида встречались им и раньше. Точка P будет свободно перемещаться по всей плоскости, явно «не желая» расставаться с двумерным миром, хотя в действительности она принадлежит прямой, способной разместиться лишь в трехмерном пространстве.

Перейдем теперь к рассмотрению знакомых всем нам предметов, а именно предметов, находящихся в трехмерном пространстве. Все формы материи, доступные нашим ощущениям, занимают некоторую часть пространства и обладают длиной, шириной и высотой. Плоскость, прямая и точка существуют в теории лишь для того; чтобы человек мог строить приближенные образы в соответствии с тем, что он наблюдает в материальном мире. Природа действует посредством универсальных законов и строит применительно к условиям, руководствуясь неписаными законами экономии. Прямая и плоскость встречаются в природе исключительно редко, главным образом среди низших форм растений и животных, но человек, пренебрегая более тонкими соображениями, определяющими выбор тех или иных средств в природе, и постоянно совершая ошибки, вынужден достигать своих целей простейшими и наиболее прямыми из доступных ему методов. Поэтому он принимает за единицу длины некий отрезок прямой, за единицу площади — плоскую фигуру, известную под названием квадрата, и за единицу объема — тело, ограниченное шестью гранями и известное под названием куба. Мы видели, что на плоскости квадрат можно построить, перемещая отрезок в перпендикулярном ему направлении на расстояние, равное длине отрезка. Аналогично можно построить и куб в трехмерном пространстве. Представим себе, что квадрат ABА'В' (рис. 3) перемещается па расстояние, равное длине любой из его сторон, в направлении, перпендикулярном плоскости квадрата. В результате такого перемещения мы получим (рис. 7) трехмерную фигуру — куб.

Рис. 6.

Рис. 7.

Предположим, что исходный отрезок AB, позволивший нам построить квадрат и куб, мы выбрали длиной в два дюйма. Тогда самому отрезку мы могли бы поставить в соответствие число 2, квадрату — число 2², а кубу — число 2³. Поскольку существуют числа 2⁴, 25 и т. д„геометрический смысл которых неизвестен, естественно возникает вопрос: не могут ли эти числа соответствовать неким объектам, восприятие которых лежит за гранью человеческих возможностей, но было бы доступно каким-нибудь высшим существам, если бы таковые обладали соответствующими органами чувств? Человеческий разум не в силах наглядно представить себе четырехмерное пространство, в котором могло бы находиться тело, соответствующее числу 2⁴, но, рассуждая по аналогии, мы в состоянии выяснить несколько интересных фактов относительно фигуры, играющей в четырехмерном пространстве такую же роль, какую в нашем пространстве играет куб.

Мы видели, что: 1) точки ограничивают отрезок прямой; 2) отрезки прямых ограничивают квадрат; 3) квадраты ограничивают куб. Таким образом, в каждом измерении единичная фигура ограничена единичными фигурами на единицу меньшего числа измерений. Следовательно, четырехмерный аналог куба ограничен трехмерными кубами. Строя квадрат, мы передвинули единичный отрезок по кратчайшему пути' из начального положения в конечное, причем длина пути была равна длине самого отрезка. Аналогично куб мы построили, переместив квадрат из начального положения в конечное, отстоящее от начального на расстояние, равное длине стороны квадрата. И в том, и в другом случае движение происходило в направлении, перпендикулярном всем и каждой из границ производящей фигуры.

Отсюда мы заключаем, что и четырехмерный аналог куба можно построить, переместив куб на расстояние, равное длине любого из его ребер, в направлении, перпендикулярном всем ребрам производящего куба. Нашему разуму это направление представляется столь же чуждым и странным, как высота — существу, обитающему в двумерном мире.

При движении отрезка прямой, заметающего квадрат, число границ вновь построенного квадрата было равно удвоенному числу отрезков (исходный отрезок плюс отрезок в конечном положении) плюс два отрезка, порожденные при движении концами исходного отрезка. Аналогично в число граней куба следует включить два квадрата (производящий квадрат в исходном и в конечном положении) плюс четыре квадрата, порожденных при движении четырьмя сторонами исходного квадрата. Отсюда ясно, что в число кубов, ограничивающих четырехмерный аналог куба, должны входить два куба (производящий куб в исходном и в конечном положении) плюс шесть кубов, порожденных при движении гранями