так потому, что и сам Аристотель часто этот род противолежащего называет просто «лишенность» (στέρεις), например Arist., Met., X, 4: 1055а38-b1; X, 7: 1057а33-b1.

449

Он называется «полной противоположностью», так как третьего не принимает. Формулировка закона исключенного третьего в формулировке т. н. «принципа двойственности».

450

Μανθάνω — это по-гречески «учиться, узнавать, слышать». В дальнейшем за этим корнем все больше закрепляется значения не «учения» вообще, а учения о числах, количествах и величинах в частности. Поэтому у Платона и Аристотеля μαθηματική (подразумевается τέχνη) — «наука о величинах». Однако и старое значение сохранялось, то есть μαθηματικός могло означать просто «ученый».

451

Весь абзац дословно переписан из «Наставлений...» Кассиодора, кн. II, гл. «О математике», а тот воспроизводит рассуждения Боэция (Boet., Inst, arithm., 1,1). О первоочередности наук ср. Arist., An. post., I, 27: 87а.

452

Число. Греческая математика начала с наглядного представления о числе, то есть умственного образа некоторого количества, например счетных камушков (псефов). И впоследствии «число» для греков — всегда натуральное число. Остальные числа были для у них чем-то соотносительным: отрицательные числа они рассматривали как натуральные в позиции вычитаемого, а рациональные — как простую дробь двух натуральных (десятичные дроби в Европе были изобретены в XVI в. н. э.). Иррациональные числа представляли себе исключительно геометрически, например, как гипотенузы прямоугольных треугольников с соответствующими катетами.

453

Никомах из Герасы (перв. пол. II в. н. э.) — неопифагорейский философ и математик. Сохранились его работы «Введение в арифметику» и две книги «Теологуме нов арифметики», а также «Руководство по гармонике» (учебник пифагорейской теории музыки), «Введение в геометрию» (не сохранилась), «Жизнь Пифагора». «Теологумены...» были посвящены символике, мистике чисел и отчасти «философии числа»; в своих философских взглядах придерживался поздней платонической доктрины, а также некоторых идей Филолая из Кротона (V в.). «Введение в арифметику» было введением в пифагорейскую математику, извлеченную, в основном, из Евклида с привлечением сохранившихся работ Архита. Доказательств теорем не приводится, так как работа писалась для широкой публики. И хотя учебник апеллировал к достижениям науки 600-летней давности, он из-за своей простоты пользовался популярностью; свои комментарии к нему оставили неоплатоники Ямвлих Халкидский (кон. III в. н. э.) и Иоанн Филопон (VI в. н. э.). Переведено на латынь Апулеем (перевод не сохранился) и Боэцием.

454

Для Исидора практически единственным источником по данному титулу и началу следующего является трактат Аврелия Кассиодора (VI в. н. э.) «Наставления в науках божественных и светских» (кн. II, титул 4: De arithmetica), который делает кратчайшую выжимку из двух книг Боэция «О наставлении в арифметике» («De institutione arithmetica»), которые, в свою очередь, являются адаптированным переводом «Введения в арифметику» Никомаха. Этим и объясняется набор упоминаемых имен. Вообще математические науки не принадлежали к сфере интересов Исидора Севильского (в отличие от дисциплин «тривиума» и натурфилософии), поэтому он и опустился до почти дословного цитирования Кассиодора.

455

Это заявление — остаток пифагорейской и неопифагорейской онтологии. Дело в том, что пифагорейские (возможно) и неопифагорейские философы считали, что единица (монада) — бог и начало всех вещей в мире. Это как бы всеобъемлющее единство, целостность, определенность, посредством которой можно различить все вещи и все сосчитать. Двойка (диада) тоже не была числом и символизировала беспредельность, так как через две точки можно провести бесконечную прямую. Сама по себе беспредельность — это плохо, поскольку ее невозможно охватить мыслью. Первым числом была тройка (триада), как единство предела и беспредельности. По крайней мере, так мы сегодня пытаемся совместить рассказы о Филолае Кротонском (V в.), авторе пифагорейской «философии числа», будто он, с одной стороны, считал началом монаду (по Ямвлиху), а с другой стороны — предел и беспредельное (по Стобею, а также Аристотелю, если считать, что учение упомянутых у последнего «анонимных пифагорейцев» — это учение Филолая в части «философии числа»; см. Arist., Met., I, 5: 986а 13). Восстановить подлинную онтологию пифагорейских философов (самого Пифагора, Алкмеона, Филолая) достаточно сложно ввиду немногочисленности и противоречивости сохранившихся фрагментов, зато неопифагорейцы (Нумений, Модерат, Никомах) выражались более определенно. Например, Никомах пишет, что бог тождественен монаде, «ибо он является семенным началом всех вещей в природе, включающим в себя числа и потенциально охватывающим все вещи, которые проявляются как крайние противоположности», тогда как диаду он считал первичной неоформленной материей. Тут, конечно, чувствуется влияние и физики стоиков с их «семенными логосами». Мистика чисел встречается на латинском языке в комментарии неоплатоника Макробия на «Сон Сципиона». Разумеется, такова была позиция философов: профессиональные математики, не мудрствуя лукаво, полагали числами и единицу, и двойку.

456

Единица ведь получила имя от греческого языка. Количественные числительные до ста единообразны во всех индоевропейских языках, то есть происходят от общего праязыка. Для примера приведем числительные из санскрита: 1 — «э́ка», 2 — «два», 3 — «три», 4 — «чату́р», 5 — «па́нча», 6 — «шаш», 7 — «сапта́», 8 — «ашта́», 9 — «на́ва», 10 — «да́ща», 20 — «винчати́», 30 — «тринча́т», …, 100 — «щата́», 200 — «две щате́». Некоторое время вызывал разноречивые мнения вопрос от том, какой согласный стоял в индоевропейском праязыке вначале числительных 4 и 5, если он смог превратиться и в губной «п», и в передненёбный аффрикат «ч», и в переднеязычный «т», и в заднеязычный «к». Сегодня полагают, что латынь дольше всех сохранила старое звучание этого согласного, который записывается как «ку̌».

457

Тысяча, которую греки называют μυριάς. Исидор ошибается, по-гречески мириада — это 10000.

458

Ci.: habere вм. habent.

459

Шестерка, совершенная в своих частях — так как 6 = 1+2+3. О совершенных числах см. ниже гл. 5, §11 и примечание к нему.

460

Время возвращающегося года. Это эналлага: имеется в виду (постоянно) возвращающееся время года.

461

Эта теория принадлежит к самому древнему пласту пифагорейской арифметики, скорее всего, Пифагору лично, и к началу IV в. уже отошла на задний план, продолжая играть роль элементарного введения в арифметику для непрофессионалов (почему к теме четных и нечетных чисел так часто обращаются и