Платон, и Аристотель). После трудов Евдокса Книдского (рубеж IV-III вв.) она стала уже некоторым математическим раритетом, не имеющим прямой связи с современною арифметикою.

462

2, 4, 8. В латинской редакции Линдсея римские цифры и словесно выраженные числительные употребляются без различия (в рукописях — то же самое, но в еще большей степени). Чтобы передать дух этой несогласованности, мы оставляем в переводе римские цифры такими, какими они являются в тексте. Кроме того, различия в правописании словесных числительных мы передаем так: латинские количественные числительные (unum, duo, tres, quattuor и т. д.) переводятся такими же русскими числительными (один, два, три, четыре и т. д.); порядковые числительные — как русские порядковые; числительные кратности (singuli, bibi, terni, quaterni, quini и т. д.) — как «по одному», «по два», «по три», «по четыре», «по пять» и т. д.; прилагательные кратности (unitas, binarius, ternarius, quaternaries, quinarius, senarius и т. д., — подразумевается numerus) переводятся как «единица», «двойка», «тройка», «четверка», «пятерка», «шестерка» и т д., поскольку термины «двоичное», «троичное» [число] и т. п. сегодня используются для обозначения систем счисления; наречия кратности (semel, bis, ter, quarter, quinquies и т. д.) — как «один раз», «два раза», «три раза», «четыре раза» и т. д. Греческие термины, как обычно, оставляются по-гречески, а unitas переводится по-разному в зависимости от контекста.

463

Нечетные числа 3, 5, 7, 9 и прочие. Заметим, что единица (монада) считалась не нечетным числом, а четным и нечетным одновременно, так как порождала оба вида числа (см. Alex. Aphrodis., Comm, in Met. I, 5: 985b23). To есть для нечетных чисел принималась формула 2n+1, n ∈ N.

464

Четно-четные числа — числа вида 2n, n ∈ N (степени двойки).

465

Четно-нечетные числа — числа вида 2(2n+1), n ∈ N (удвоенные нечетные числа).

466

Нечетно-четные числа — числа вида 2k(2n+l), где k, n ∈ N, k≥ 2.

467

Измеряться каким-либо числом — иметь его своим делителем. То есть нечетно-нечетные числа — произведения нечетных чисел; их формула: (2n+l)(2k+l), где k, n ∈ N. Правда, Исидор свои примеры почему-то ограничивает квадратами нечетных чисел.

468

Простые числа — такие, которые не имеют никакого другого делителя, кроме одной целой. Мы бы сказали: «кроме единицы и самого себя». Кассиодор говорит: «которые измеряются одной единичной мерой (sola monadica mensura)», что и означает кратность себе и единице. Однако Исидор вводит здесь одно усложнение, так как полагает, что, например, 1/5 есть делитель 5 (конечно, он имеет в виду 1/5 от 5, то есть 1), 1/3 — делитель 3 и т. д. По сегодняшним понятиям, 1 и 2 также относятся к простым числам. Теория простых чисел — один из самых увлекательных разделов арифметики. Ею занимались Евклид, доказывавший что таких чисел бесконечно много, Эратосфен, предложивший простой метод «отсеивания» составных чисел до любого наперед заданного («решето Эратосфена»), П. Ферма и М. Мерсенн, безуспешно искавшие формулу для простых чисел и исследовавшие некоторые разновидности этих чисел (например, простые числа Мерсенна вида 2n–1), Л. Эйлер, обобщивший всю теорию простых чисел. А. Лежандр, К. Гаусс, Л. Дирихле, Ж. Бертран, П. Л. Чебышев, Ж. Адамар и многие другие занимались вопросом о том, как простые числа распределяются среди натуральных чисел. Например, удалось показать, что π(n) ≈ n/ln n, где π(n) — количество простых чисел, не превосходящих n. (См. Серпинский В. Что мы знаем и чего мы не знаем о простых числах. — М.: Физматгиз, 1963.)

469

И снова Исидор выражается менее ясно, чем Кассиодор, который правильно говорит, что составные числа — те, которые [нацело] делятся как на единицу (или себя), так и на другое число.

470

Средние числа — такие, которые, кажется, некоторым образом являются простыми и несоставными, а другим образом — составными. Имеются в виду простые дроби, которые могут быть и несокращаемыми и сокращаемыми. Несократимую же дробь пифагорейцы называли питменом (πυθμήν).

471

Совершенным называется число, равное сумме своих делителей, исключая его самого. Ниже Исидор перечисляет три первых совершенных числа — 6, 28 и 496. Четвертым будет 8218, а восьмое, например, имеет порядок 1024. Эмпирическую формулу для совершенных чисел вывел Евклид: 2n(2n+1–1), где n ∈ N, но число 2n+1–1 должно быть простым (так называемое, простое число Мерсенна). То есть, например, для первых одиннадцати совершенных чисел n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 127. Впоследствии Л. Эйлер доказал, что этой формулой исчерпываются все четные совершенные числа. Однако, вопреки заявлению Исидора, вопрос о том, являются ли все совершенные числа четными, до сих пор открытый. В XX в. удалось доказать только то, что если нечетные совершенные числа и существуют, то они должны делиться по крайней мере на пять различных простых чисел и должны быть чрезвычайно большими, так как проверены все числа до 1050. Неизвестно даже, есть ли совершенным числам предел или их бесконечно много: сегодня известно более тридцати, и последнее имеет n = 132050. Раздел, посвященный этим числам, — один из интересных разделов арифметики.

472

Общее примечание к главе 5. О первом разделении чисел на четные и нечетные. К Пифагоровой теории четных и нечетных чисел относилось, по словам Ямвлиха (в которых в данном случае нет оснований сомневаться), также открытие так называемых «дружественных чисел», то есть таких, каждое из которых равно сумме делителей другого числа, например 220 и 284 или 2620 и 2924.

473

Число по отношению к другому. Заметим, что здесь и далее Исидор и его неопифагорейский источник допускают двусмысленность. Говоря об отношении двух чисел, он имеет в виду как собственно некое отношение, тип связи двух чисел (больше, меньше, равно, отношение двухкратности, отношение суперпартикулярности и т. п.), так и простую дробь (5/3, 3/5, 2/2, 2/1, 3/2 и т. п.), которая в нашем сегодняшнем понимании есть одно рациональное число (1,6(6); 0,6; 1; 2; 1,5 и т. п.). Исидор, равно как и ранние пифагорейцы, не различал этих ситуаций. Вообще