заданы формально. Но каковы бы ни были мотивы выбора этих правил, если они отвечают связям и движению тех сторон явлений, которые верно изображаются математическими абстракциями, мы получим верный результат. А если будем подбирать все более подходящие математические понятия и все более подходящие правила выбора, то в итоге это и будет означать, что как наши формальные математические понятия, так и формальные правила вывода в своей смене, в своем движении перестают быть противоположными понятиям и правилам диалектики и становятся лишь разновидностью диалектических понятий и законов мышления. Диалектика открывает нам новые истины, но и математика, перерабатывая одни понятия и суждения в другие, представляет, например, скрытое (теорема) в явном виде (ее доказательство).

Методологически вопрос о применении математики в науках о действительности сводится, следовательно, к тому, где, для чего, какие математические абстракции применять, какие предпосылки и определения брать, какими правилами вывода в каждом конкретном случае пользоваться, как оценивать полученные математическим путем результаты. Вот почему только другие, нематематические методы исследования могут дать оценку применению математики, обеспечить проверку полученных с помощью математики выводов, подсказать пути дальнейшего внедрения математики. Нужен опыт применения математики в соответствующей области, проверка полученных математическим путем результатов на практике, выработка и использование адекватного данной области исследования математического аппарата. Так возник и развивается аппарат механики и физики, таков же путь внедрения математики во все другие науки, понятия которых на известной ступени развития науки становятся доступными математической обработке.

Математика как одна из форм познания материального мира неотделима от гносеологии и тем самым от диалектики. В то же время математические теории применимы к действительности диалектически только в своем отрицании, т. е. непременно в смене и уточнении этих теорий, в процессе применения различных математических средств к одному и тому же явлению, в процессе исследования одной и той же стороны явления разными математическими методами. Каждая отдельная математическая теория, даже если она изображает движение, является неизменной, неподвижной абстракцией, причем ни одна математическая теория, будучи взята в отдельности, не даст о явлении больше знаний, чем заложено неявно в ее предпосылках. Попытки построить раз навсегда законченную, неуточняемую математическую теорию, изображающую некоторый действительный процесс – например, экономического развития, – являются попытками остановить движение познания. Напротив, абстрагирование, выделение в специальный объект исследования отдельных сторон, связей и отношений действительности, которое составляет суть математики, если оно делается с сознанием неполноты исследования, с сознанием того, что результаты верны в той узкой области, где данные математические абстракции хорошо отражают действительность, такое абстрагирование составляет важный этап в познании явлений, необходимый и безусловно признаваемый как один из методов их исследования.

При этом никогда нельзя забывать, что абстракции «представляют собой в такой же мере продукт исторических условий и обладают полной значимостью только для этих условий и внутри их».[141]

В зависимости от того, какие стороны явления берутся в расчет, а от каких отвлекаются, в зависимости от характера самой исследуемой области, находится выбор и конструирование математических методов, которые следует применять в каждом конкретном случае. Гарантией успеха служит весь человеческий опыт, который свидетельствует: если предпосылки взяты верными, если мы правильно применяем к ним законы мышления, то и выводы получаются соответствующими действительности.[142]

Мысль о связи математики с человеческим опытом, с практикой хорошо выражена академиком Л. С. Понтрягиным. Он пишет, что значение математики «на наших глазах возрастает, своими приложениями она охватывает все новые области познания и практики. Одновременно происходит стремительный прогресс и в ней самой. Возникнув некогда как сугубо прикладная наука и имея своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира – то есть весьма реальный материал, – в ходе своего развития математика принимала все более абстрактную форму, которая в известной степени затушевывала ее „земное” происхождение. Ведь чтобы исследовать названные формы и отношения в чистом виде, приходилось мысленно отделять их от содержания, оставляя его в стороне как нечто безразличное... Отвлекаясь от действительности, люди получили точки, лишенные толщины и ширины, разные „а” и „х" и „у", постоянные и переменные величины, а далее – дошли до продуктов „свободного творчества и воображения самого разума” – до мнимых величин. „Но совершенно неверно, будто в чистой математике разум имеет дело только с продуктами своего собственного творчества и воображения”, – писал Энгельс (К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 20, стр. 37). И выведение математических понятий друг из друга, кажущееся не опирающимся на определенные данные и факты, доказывает не их априорное возникновение, а лишь их рациональную связь. Нельзя не согласиться с мыслью: „как и все другие науки, математика возникла из практических потребностей людей... Но, как и во всех других областях мышления, законы, абстрагированные из реального мира, на известной ступени развития отрываются от реального мира, противопоставляются ему как нечто самостоятельное, как явившиеся извне законы, с которыми мир должен сообразоваться... Чистая математика применяется впоследствии к миру, хотя она заимствована из этого самого мира и только выражает часть присущих ему форм связей, – и как раз только поэтому и может вообще применяться” (там же, с. 37–38)».[143] На понимании этого зиждется и применение математики в политической экономии.

Применение математики к исследованию экономических явлений связано с реализацией общего диалектико-материалистического метода в этой сфере, и, следовательно, сказанное выше о соотношении диалектики и математики применимо и к политической экономии. Мы поэтому лишь акцентируем внимание на некоторых важных, на наш взгляд, моментах. Как известно, метод Маркса предполагает изучение производственных отношений, анализ их противоречивых сторон, рассмотрение движения противоречий под воздействием развивающихся производительных сил, отыскание в экономической действительности форм их разрешения, затем анализ отношений на новой ступени развития, и т. д. Поскольку этот метод предполагает при исследовании перехода на новый этап развития обращение к экономической действительности, а значит и изучение изменяющихся производительных сил, постольку его невозможно достаточно хорошо отобразить как целое единой математической теорией, которая ввиду своей математической формы все свои выводы получает формально из неизменных предпосылок. Требуется по крайней мере смена предпосылок при переходе к новому этапу развития, приносящему с собой в экономику качественные изменения, новое экономическое толкование прежних математических понятий. (Это не исключает, конечно, применения сквозных методов в тех случаях, когда речь идет об изменении только отдельных сторон, отдельных групп экономических параметров). Кроме того, качественные изменения в экономике, возникновение множества качественно новых связей, новых сторон явлений, новых отношений, требуют введения новых предпосылок, новых определений, понятий и, возможно,, специального математического аппарата для их исследования, построения и применения специальных математических средств, пригодных для описания экономических явлений на новом