друга, Фалес предпочитал действовать иначе и доказывал даже то, что в принципе не вызывало особых сомнений.

Пример логического доказательства. Теорема Фалеса

Хорошим примером дедуктивного рассуждения может служить следующая теорема, которую, вероятно, первым доказал именно Фалес (а сделав это на радостях принес в жертву быка).

Пусть AB есть диаметр окружности. Выберем на окружности произвольную точку C так, чтобы она не совпадала с A или B. Получившийся треугольник ABC всегда будет прямоугольным, то есть угол при вершине C всегда равен 90°.

Данное свойство окружности вовсе не кажется очевидным, хотя доказать его совсем несложно: достаточно лишь соединить точку C с центром окружности O. Легко видеть, что OA = OB = OC, ведь эти три отрезка являются радиусами одной и той же окружности. Отсюда мы заключаем, что треугольники AOC и BOC являются равнобедренными, а значит в этих треугольниках углы, противолежащие равным сторонам, равны между собой. Для удобства обозначим равные углы в треугольнике AOC буквой α, а равные углы в треугольнике BOC обозначим буквой β. Поскольку сумма углов любого треугольника равна 180°, то мы можем записать два следующих равенства

2α +α' = 180°; 2β+β' = 180°.

Но, поскольку угол AOB является развернутым, то

α' + β' = 180°

Сложив два первых равенства и отняв из них третье, мы легко получаем

2α + 2β = 180°.

Отсюда мы заключаем, что α + β = 90°, но это и есть величина того самого угла, который мы ищем. Теорема доказана!

Практическая польза логики

Итак, дедуктивное доказательство зародилось, скорее всего, в самой математике, но при этом такой вид рассуждений не является чем-то необходимым для работы с числами или фигурами. В самом деле, на Востоке профессиональные счетоводы и землемеры ничего подобного не знали. Но Греция оказалась в уникальных исторических условиях, когда богатые и влиятельные люди, такие как Фалес или Пифагор, могли заработать себе престиж и дополнительное уважение (а также материальные блага), продемонстрировав окружающим свою мудрость. В Египте и Вавилоне жрец или землемер являлись представителями своего класса, и их социальный статус был четко определен — особые природные дарования могли несколько поспособствовать карьере, но не более того. В Греции же умный и деловой человек мог добиться очень многого.

Отныне стало возможно не просто стать обладателем полезного знания, но сформулировать неопровержимую истину, причем такую, что любой скептик мог сам внимательно проверить доказательство и убедиться в его верности. Вся греческая геометрия являет собой постепенное утверждение дедуктивного метода. Его эффективность в деле получения новых математических фактов оказалась столь высока, что философы не смогли устоять перед искушением и распространили дедукцию на все области знания. Сильнее прочих на этом поприще отличился Аристотель.

Формальная логика

Период расцвета средневековых университетов знаменовал триумф аристотелизма как величайшей философской системы. Наступление эпохи Возрождения подорвало позиции Аристотеля-метафизика, но его авторитет в области логики оставался непререкаемым. Даже сегодня многие полагают, что по этому вопросу уже сказано более чем достаточно: ведь не просто же так Аристотеля часто называют «отцом логики». Тут, впрочем, нужно сделать ряд разъяснений.

Начать следует с того, что у Аристотеля нет труда с названием «Логика», такое слово было неизвестно философу, поскольку появилось лишь в эллинистическо-римские времена. Сам Аристотель использовал термин «аналитика» — расчленение суждений. Причем основы этой аналитики (категории) являются по сути своей описанием греческой грамматики, то есть перенесением в область метафизики лингвистической конвенции древнегреческого языка. Во-вторых, по мысли самого Аристотеля, его аналитика не входит в какую-либо содержательную часть знания, но является орудием (органоном) — средством получения истинных суждений, то есть онтологическим инструментом. Иными словами, Аристотель учил тому, как надобно думать, чтобы получать достоверные знания, не прибегая к опыту, поскольку лишь логико-дедуктивные заключения неопровержимы. И такой взгляд на проблему господствовал в европейской мысли очень долго. Формальная логика — система правил для преобразования высказываний безотносительно содержания, но исходящая лишь из их формы — считалась лучшим инструментом получения новых истин.

Обычный читатель, не имеющий специального образования, чаще всего недостаточно тонко понимает, почему формальная логика называется «формальной». Большинство встречающихся примеров вполне понятны в бытовом смысле, либо же наоборот — сугубо абстрактны и не вызывают дополнительных вопросов. Поэтому чаще всего не удается прочувствовать тот факт, что для формальной логики важно лишь то, как именно мы рассуждаем, но совсем неважно — о чем. Приведенный ниже пример должен, как представляется, все-таки внести ясность:

Известно: только красные шарики могут летать.

Вопрос: могут ли синие шарики летать?

На первый взгляд ответ кажется очевидным — нет, не могут. Однако с точки зрения формальной логики отвечать на поставленный вопрос нужно так: «Синие шарики могут летать, если они красные». В самом деле, в приведенном тексте нигде не говорится о том, что «быть красным» и «быть синим» — это взаимоисключающие свойства. Конечно, все мы знаем, что в реальном мире красный шарик не может быть одновременно еще и синим (будем считать, что варианты «в полоску» или «в крапинку» являются отдельным видом расцветки), однако эта информация является дополнительной к указанным условиям. С точки зрения формы высказывания совсем неважно, о каком свойстве предмета идет речь — о цвете, о размере, о гладкости поверхности и т. п. Если что-то не было указано явно, то этим нельзя оперировать, иначе можно допустить ошибку.

Пожалуй, ни у кого не возникнет возражений в правильности чуть измененного умозаключения:

Известно: только красные шарики могут летать.

Вопрос: могут ли большие шарики летать?

Ответ: большие шарики могут летать, если они красные.

Разумеется, в более сложных рассуждениях придерживаться такой строгости очень трудно, и это постоянно порождает ошибки и заблуждения.

Силлогизмы

В так называемый «Органон» Аристотеля входят его работы «Категории», «Об истолковании», «Первая аналитика», «Вторая аналитика», «Топика» и «Софистические опровержения», которые были написаны отдельно и объединены воедино спустя несколько веков после создания.

Важнейшее место во всех этих работах занимает «Первая аналитика», где изложено учение о силлогизме — доказательстве из трех частей: двух посылок и одного заключения. Существует несколько модусов (форм), самым известным из которых является следующий:

Все люди смертны (первая посылка).

Сократ — человек (вторая посылка).

Следовательно: Сократ смертен (заключение).

Конечно, смертность Сократа представляется достаточно очевидной, однако не всегда всё оказывается так просто. Для примера рассмотрим следующие две посылки, предложенные Льюисом Кэрроллом:

Все философы логичны.

Нелогичный человек всегда упрям.

В данном случае сделать