eine sum ma duorum numerorum primorum sey, illustrirt und confirmirt werden. Denn, ist der numerus propositus n par, so ist er eine summa duorum numerorum primorum, und da n – 2 auch eine summa duo rum numerorum primorum ist, so ist n auch eine summa trium, und auch quator u. s. f. Ist aber n ein numerus impar, so ist derselbe ge wiss eine summa trium numerorum primorum, weil n – 1 eine sum ma duorum ist, und kann folglich auch in quotvis plures resolvirt werden. Dass aber ein jeder numerus par eine summa duorum primorum sey, halte ich für ein ganz gewisses theorema, ungeachtet ich dasselbe nicht demonstrieren kann.

Итак, в ответном письме Эйлера содержится гипотеза о возможности разложения каждого чётного числа на сумму двух простых чисел. При этом, как видим, вслед за Гольдбахом к простым числам Эйлер относит и 1, что забывают при обсуждении проблемы Гольдбаха едва ли не всегда. В своих публикациях (по крайней мере в тех, которые мне известны) Эйлер, однако, не считал 1 простым числом – достаточно взглянуть, например, на § 267 из первого тома его трактата «Введение в анализ бесконечно малых»[103], где явно перечисляются «все простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т. д.». Таким образом, гипотеза Эйлера также существует в двух вариантах – первоначальном, сформулированном Эйлером, и современном. Разложение, скажем, числа 18 вида 18 = 17 + 1 годится для первоначального варианта и не годится для современного; здесь надо искать такие разложения, как 18 = 13 + 5 и 18 = 11 + 7. В современном варианте следует говорить о разложении каждого чётного числа, начиная с 4. Ясно, что 4 – единственное чётное число, разлагаемое на такие два простых слагаемых, из которых хотя бы одно чётно, так что все последующие чётные числа могут разлагаться только на два простых нечётных слагаемых. Ясно также, почему речь идёт о разложении только чётных чисел: ведь нечётное n можно разложить на два простых слагаемых тогда и только тогда, когда n − 2 является простым.

В письме Эйлера дано доказательство того, что подтверждение его гипотезы о возможности разложения чётных чисел на два простых слагаемых немедленно приводит к подтверждению общей (а значит, и частной) гипотезы Гольдбаха. Доказательство дано Эйлером для варианта, при котором 1 считается простым числом. Если исключить 1 из корпуса простых чисел, надо предложенный Эйлером переход от n к n – 1 поменять на переход от n к n – 3.

И наконец, последний комментарий к этому обмену письмами. Эйлер обосновывает достаточность своей гипотезы для подтверждения общей гипотезы Гольдбаха. Однако даже частной гипотезы Гольдбаха оказывается достаточно для подтверждения гипотезы Эйлера о том, что каждое чётное число n разлагается на два простых слагаемых.

Достаточно разложить на три простых слагаемых число n + 2 и заметить, что ввиду его чётности невозможно, чтобы все три слагаемых были нечётны. Значит, какое-то из этих слагаемых непременно чётно и, следовательно, равно 2. Оставшиеся два простых слагаемых в сумме дают число n. Поэтому все три рассмотренные гипотезы – гипотеза Эйлера, частная и общая гипотезы Гольдбаха – оказываются эквивалентными. А следовательно, эквивалентны и соответствующие проблемы. В наши дни все они объединяются терминами гипотеза Гольдбаха и проблема Гольдбаха.

Ещё в начале ХХ в. считалось допустимым включать 1 в объём понятия 'простое число'. Вот, например, что написано в знаменитой «Энциклопедии элементарной математики» Вебера и Вельштайна [4]: «Это, конечно, только вопрос целесообразного соглашения; часто относят единицу к простым числам, как оно и кажется естественнее на первый взгляд. Мы предпочитаем, однако, отделять единицу от простых чисел, так как это даёт возможность короче выражать некоторые предложения». С тех пор понятие простого числа сделалось общепринятым и устойчивым, и оно не включает в свой объём 1. А потому гипотеза и проблема Гольдбаха всеми понимаются однозначно – в современном варианте, исключающем из числа допустимых слагаемых 1.

Пора, однако, переходить к современности. Но прежде – несколько замечаний, преимущественно терминологических.

Проблему Гольдбаха можно ставить отдельно для разложения чётных и нечётных чисел. Поскольку, как мы видели, чётное число n может быть разложено на три простых слагаемых тогда и только тогда, когда на два простых слагаемых может быть разложено число n – 2, то проблема Гольдбаха для чётных чисел равносильна проблеме Эйлера, состоящей в требовании доказать гипотезу Эйлера, а стало быть, и проблеме Гольдбаха в её полном объёме. Поэтому в попытках решить тернарную проблему часто ограничиваются разложением нечётных чисел. Такая ограниченная проблема Гольдбаха называется слабой и состоит в проверке слабой гипотезы Гольдбаха (Goldbach's weak conjecture)[104]: всякое нечётное число, начиная с 7, может быть разложено на три простых слагаемых. Нередко термин «слабая гипотеза Гольдбаха» понимают в усиленном варианте, требующем, чтобы все три слагаемых были нечётными, и тем самым исключающем разложения вида 2 + 2 + p, где p – простое число (нижний порог поднимается в этом случае с 7 до 9). Эта терминологическая путаница порождает свои проблемы: подчас без внимательного анализа доказательств непонятно, что, собственно, сделано (показательный пример будет приведён ниже, в последнем абзаце)[105].

А теперь – последняя проблема этой статьи. Она состоит в выяснении того, решена проблема Гольдбаха или нет. В авторитетном словаре [1, с. 677], вышедшем в 1988 г., находим утверждение, что проблема Гольдбаха решена. Приведём соответствующую фразу полностью: «Другим следствием метода (1935–1937)[106] было решение ряда аддитивных проблем с простыми числами и, в частности, решение проблемы Гольдбаха». Эта фраза содержится в статье «ВИНОГРАДОВ Иван Матвеевич». Итак, благодаря использованию некоего метода проблема Гольдбаха была решена. Осталось узнать, какой из возможных ответов был дан на вопрос, составляющий проблему Гольдбаха и сформулированный в цитате из того же словаря [1, с. 188]. Вот тут и возникают трудности: ответ получить не удаётся.

В первой декаде XXI в. автор этих строк опросил нескольких специалистов по теории чисел, решена ли проблема Гольдбаха. Они отвечали уклончиво. Но на прямой вопрос, верно ли, что каждое число, начиная с 6, может быть разложено на три простых слагаемых, единодушно отвечали, что это неизвестно.

Посмотрим, что сказано в статье «ГОЛЬДБАХА ПРОБЛЕМА» в том же словаре. Находим фрагмент:

В 1937 г. И. М. Виноградов доказал[107], что всякое достаточно большое нечётное число представляется суммой трёх простых чисел, т. е., по существу, решил Г. п. для нечётных чисел. Это одно из крупнейших достижений современной математики.

Что касается признания того, что сделал И. М. Виноградов, одним из