до числа n + 3. Сайт http://mathworld.wolfram.com/GoldbachConjecture.html даёт сведения (и приводит соответствующую ссылку) о состоянии дел на конец 2005 г.: бинарная гипотеза подтверждена вплоть до числа 300 000 000 000 000 000 (17 нулей). Здесь 18 десятичных знаков, а начало «хвоста», как мы видели, – в районе 43 тысяч знаков.

Говоря об истории проблемы Гольдбаха, нельзя не упомянуть так называемую константу Шнирельмана. Для удобства изложения назовём числом Ландау всякое число N со следующим свойством: любое число, большее единицы, разлагается в сумму не более чем N простых слагаемых. Существование чисел Ландау не является очевидным. Как указано в работе [10], гипотезу об их существовании высказал в 1912 г. Эдмунд Ландау (Edmund Landau), отчего мы и решились назвать их здесь его именем. Ясно, что если какое-то число является числом Ландау, то таковым же является и любое большее число. Наименьшее из чисел Ландау принято называть константой Шнирельмана (Schnirelmann's constant или the Schnirelmann constant). Константа Шнирельмана не может быть меньше чем 3, так как, скажем, число 27 не разлагается на два простых слагаемых. Гипотеза Гольдбаха утверждает, что константа Шнирельмана существует и равна 3. Существование чисел Ландау, а значит, и константы Шнирельмана в 1930-х гг. [11, 12] установил Лев Генрихович Шнирельман (разумеется, свою константу он так не называл), что явилось значительным событием. Он доказал, в частности, что константа Шнирельмана не превосходит 300 000. С тех пор она понижена, и притом весьма значительно. Последний результат в этой области [13]: константа Шнирельмана не превосходит числа 7.

Наконец в 2013 г. свершилось великое. Была решена слабая проблема Гольдбаха. Её решение анонсировал Харальд Хельфготт (Harald Helfgott), перуанец по происхождению и по гражданству. Хельфготт родился 27 ноября 1977 г. в Лиме. Ещё там, в школе, проявились его математические способности. В 1994 г. он поступил в Брандейский университет в США, который окончил в 1998 г. с отличием и со степенью бакалавра. По-видимому, из уважения к той части света, откуда он произошёл, темой своей дипломной работы Хельфготт выбрал изучение математических структур, называемых «ацтекскими алмазами». С 1998 по 2003 г. Хельфготт – в аспирантуре Принстонского университета. После защиты диссертации и преподавания в американских, канадском и британском университетах он оказывается в Париже. С 2010 г. он – исследователь 1-го разряда (researcher, 1st class) в Высшей нормальной школе, а после объявления своего выдающегося результата – с 2014 г. старший исследователь 2-го разряда (senior researcher, 2nd class) в одном из парижских университетов. Статья [14] с открытием Хельфготта выложена в интернет-хранилище arXiv.org (произносится [архив]) – крупнейшем бесплатном архиве электронных публикаций научных статей и препринтов по математике, информатике, физике, астрономии и биологии.

Открытие Хельфготта оказало решающее влияние на оценку константы Шнирельмана. Теперь можно утверждать, что она не превосходит числа 4. В самом деле, всякое нечётное число разлагается на три простых – это имеет место в силу теоремы Хельфготта. Ежели же число m чётно, то перейдём к нечётному числу m – 3; оно разлагается на три простых слагаемых, каковые вместе с числом 3 образуют четыре простых слагаемых, на которые разлагается m.

список литературы к приложению к главе 3

1. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. – М.: Сов. энциклопедия, 1988.

2. Юшкевич А. П., Копелевич Ю. Х. Христиан Гольдбах. 1690–1764. – М.: Наука, 1983.

3. Euler L., Goldbach Ch. Briefwechsel, 1729–1764 / A. P. Herausgeg, E. Juškevič, B. Winter. Berlin: Abh. Deutsch. Akad. Wiss. Berlin Kl. Philos., 1965.

4. Вебер Г., Вельштейн И. Энциклопедия элементарной математики / Пер. с нем., ред. и примеч. В. Кагана: В 3 т. Т. 1: Элементарная алгебра и анализ / Сост. Г. Вебер. – Одесса: Mathesis, 1906. – С. 50.

5. Виноградов И. М. Представление нечётного числа суммой трёх простых чисел // Докл. АН СССР. 1937. Т. 15. С. 291–294.

6. Бороздин К. Г. К вопросу о постоянной И. М. Виноградова // Труды Третьего всесоюзного математического съезда. Т. 1. – М.: Изд-во АН СССР, 1956. – С. 3.

7. Chen J. R., Wang T.-Z. On the Goldbach problem // Acta mathematica sinica. 1989. Vol. 32. P. 702–718.

8. Новиков С. П. Математики и физики Академии 60–80-х годов // Вопросы истории естествознания и техники. – 1995. № 4. – С. 55–65.

9. Гельфонд А. О. Теория чисел // Математика в СССР за тридцать лет. 1917–1947. – М.; Л.: Гостехиздат, 1948. С. 53–81.

10. Iwaniec H., Kowalski E. Analytic number theory // Colloquium Publications. 2004. Vol. 53. P. 443.

11. Schnirelmann L. G. Über additive Eigenschaften von Zahlen // Mathematische Annalen. 1933. Vol. 107. S. 649–690.

12. Шнирельман Л. Г. Об аддитивных свойствах чисел // Успехи математических наук. – 1939. – Т. 6. – С. 9–25.

13. Ramaré O. On Schnirelmann's constant // Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Classe di Scienze. Serie IV. 1995. Vol. 22. № 4. P. 645–706.

14. Helfgott H. A. The ternary Goldbach conjecture is true // arxiv.org/abs/1312.7748 (Submitted on 30 Dec 2013, last revised 17 Jan 2014).

О понятиях 'множество', 'кортеж', 'соответствие', 'функция', 'отношение'

Понятия множества и кортежа трактуются в данной статье как первичные, неопределяемые. Понятия же соответствия, функции и отношения определяются в ней через понятия множества и кортежа[112].

Множество

Понятие множества является не только первым, но и самым главным из перечисленных понятий. Заметим сразу же, что рассматриваемые в традиционной комбинаторике так называемые сочетания суть не что иное, как конечные множества.

Вот что говорит о понятии множества и о самом термине «множество» выдающийся отечественный математик П. С. Александров:

На каждом шагу нам приходится сталкиваться с тем трудно определимым понятием, которое выражается словом «совокупность». Например, можно говорить о совокупности людей, присутствующих в данный момент в данной комнате, о совокупности гусей, плавающих на пруду, зайцев, живущих в лесах Московской области, и т. п.

В каждом из этих случаев можно было бы вместо слова «совокупность» употребить слово «множество»[113].

А вот что пишет учитель П. С. Александрова, не менее выдающийся математик Н. Н. Лузин:

Что такое множество? Мы не станем доискиваться ответа на этот вопрос, потому что понятие множества является столь первоначальным, что затруднительно, по крайней мере на сегодняшний день, определить его при помощи более простых понятий.

Читателя это обстоятельство не должно удивлять. Действительно, когда некоторое понятие P определяется при помощи более простого понятия D, то само это понятие D также нуждается в определении посредством более простого понятия C, а оно, в свою очередь, нуждается в определении посредством ещё более простого понятия B и т. д. Таким