образом, в конце концов мы должны будем прийти к столь первоначальному понятию А, которое не удаётся определить с помощью более простых понятий; всё, что можно здесь сделать, – это только разъяснить на ряде примеров смысл такого понятия А.

Итак, мы не станем искать определения слова «множество». Можно, разумеется, было бы сказать, что множество есть «собрание», «коллекция», «класс», «система», «семейство», «комплекс», «ансамбль» и т. д. Но такая замена одного слова другим никогда не может дать самоё идею множества тому, кто раньше не приобрёл её каким-нибудь образом. Поэтому мы предпочитаем обратиться к примерам, разъясняющим смысл слова «множество». Понимая под этим словом совокупность, составленную из каких-нибудь предметов, мы можем говорить о множестве всех букв на данной странице, о множестве всех атомов серебра в данной монете, о множестве всех корней данного уравнения, о множестве всех положительных чисел, о множестве всех многочленов, о множестве всех непрерывных функций, о множестве всех точек на данной окружности, о множестве всех углов, имеющих иррациональное значение синуса, и т. д.

Предметы, составляющие данное множество, называются его элементами[114].

И далее:

Из приведённых примеров видно, что элементами множества могут быть самые разнообразные предметы: буквы, атомы, числа, функции, точки, углы и т. д. Отсюда с самого начала ясна чрезвычайная широта теории множеств и её приложимость к очень многим областям знания (математике, механике, физике)[115].

Надо иметь в виду, что список областей знания, приведённый в скобках Н. Н. Лузиным, не является не только исчерпывающим, но даже достаточно представительным; этот список, по существу, мог бы состоять из всех областей знания.

Кортеж

Понятие кортежа несколько менее популярно, чем понятие множества, но почти столь же фундаментально. Так же как и понятие множества, оно заимствуется непосредственно из опыта (хотя это понятие и можно формально определить через понятие множества, но лишь весьма искусственно); сам термин «кортеж», как и термин «множество», имеет ряд синонимов, ничего не разъясняющих по существу, но служащих некоторым психологическим подспорьем для понимания. Такими синонимами в данном случае являются «упорядоченный набор», «конечная последовательность», «вектор»[116]. Вот что пишет, например, о понятии 'вектор' видный английский психиатр, более известный в России как один из пионеров кибернетики У. Р. Эшби (у которого это понятие полностью совпадает с нашим понятием 'кортеж'):

…Предположим, что радиопередача должна дать нам отчёт о «состоянии» (в определённый момент времени) проходящего сейчас марафонского бега. До этого она должна сообщить положение каждого бегуна в данный момент времени. Множество этих положений определит «состояние» бега. Итак, состояние бега в целом задаётся различными состояниями (положениями) различных бегунов, взятыми одновременно. ‹…›

Такое состояние есть вектор, т. е. составной объект, имеющий определённое число компонентов, или составляющих. Удобно записывать его в виде (a1, a2, …, an); это означает, что первая составляющая имеет значение a1, вторая – значение a2 и т. д.

…«Положение» корабля в любой момент не может быть описано одним числом; необходимы два числа: широта и долгота. Таким образом, «положение» есть вектор с двумя составляющими[117].

Существенно подчеркнуть следующее:

1. Составляющие вектора стоят на определённых местах, причём указано, какое место является первым, какое – вторым и т. д. (бегунов нумеруют; относительно координат договариваются, какую из них – широту или долготу – указывать первой);

2. Составляющие, стоящие в векторе на разных местах, могут совпадать (два бегуна могут иметь одинаковое положение; широта и долгота, на которых находится корабль, могут также оказаться одинаковыми – если указывать их просто числами со знаком «плюс» или «минус», не прибегая к таким обозначениям, как, скажем, «западная долгота»).

Часто вместо термина «вектор» употребляют термин «кортеж», вместо термина «компонент» – термин «компонента», а записывают кортеж в угловых или круглых скобках:

〈a1, a2, …, an〉 или (a1, a2, …, an).

Вот ещё примеры кортежей: можно говорить о кортеже автомобилей в церемониальной процессии, о кортеже букв в слове, о кортеже слов во фразе, о кортеже фраз в абзаце, о кортеже абзацев в тексте, о кортеже азотистых (пуриновых и пиримидиновых) оснований в каждой из двух «нитей» молекул дезоксирибонуклеиновой кислоты. Знакомые, которые последовательно встретились вам сегодня на улице (при условии, что никакие двое знакомых не появлялись одновременно), также образуют кортеж. Во всех этих примерах, кроме первого, компоненты кортежа, стоящие на разных местах, могут совпадать. Кортежи с несовпадающими элементами суть не что иное, как рассматриваемые в комбинаторике размещения.

Кортеж с двумя компонентами называют парой, с тремя – тройкой и т. д.

Соответствие

Чтобы подойти к определению математического понятия соответствия, начнём с примеров употребления этого понятия.

Пример 1. Будем измерять рост людей в сантиметрах, а их вес – в килограммах. Каждому возможному для человека значению роста соответствуют некоторые значения веса – те значения, которые может иметь вес при данном значении роста.

Пример 2. С другой стороны, каждому возможному значению веса человеческого тела соответствуют определённые значения роста человека – те значения, которые рост может иметь при данном весе.

Пример 3. Каждому человеку либо соответствует некоторый цвет – цвет его волос, либо не соответствует ничего, если он лыс.

Пример 4. Каждому цвету либо соответствуют люди, чьи волосы имеют этот цвет, либо (как, например, зелёному цвету) не соответствует никто (если иметь в виду естественный цвет волос).

Пример 5. Каждому русскому существительному соответствуют окончания, возникающие при склонении этого существительного, а несклоняемому существительному не соответствует ничего (если не считать отсутствие окончания особым «нулевым» окончанием).

Пример 6. Каждому окончанию соответствуют некоторые существительные, а именно те, которые имеют хотя бы одну форму с данным окончанием, или ничего не соответствует, если такое окончание невозможно для существительных.

Пример 7. Каждому слову одного языка, если оно имеет аналоги (переводы) в другом языке, соответствуют эти аналоги.

Во всех этих примерах мы имеем дело с соответствиями (причём в примерах 2, 4, 6 – с соответствиями, обратными соответствиям из примеров 1, 3, 5). Соответствие, таким образом, предполагает наличие двух множеств (множества ростов и множества весов в примере 1, множества окончаний и множества существительных – в примере 6), причём для каждого элемента первого множества либо не указано соответствующих ему элементов второго множества (как для зелёного цвета в примере 4), либо такие элементы второго множества указаны (как для чёрного цвета в том же примере). Первое из этих множеств называется областью отправления, а второе – областью прибытия соответствия. Областями отправления в