где wt = оригинальный ряд данных или разница степени d оригинальных данных;

φ1, φ2… φр = авторегрессионные параметры;

θО = постоянный член;

θ1, θ2… θq = параметры скользящего среднего;

εt = независимые возмущения или случайная ошибка.

Модели ARIMA можно откорректировать с учетом сезонности (seasonality) в данных. В этом случае модель (SARIMA) выглядит следующим образом:

SARIMA (p, d, q) × (p, d, q)s = n,

где s = сезонный параметр длины n.

Модели временных рядов в прибыли. Большинство моделей временных рядов, используемых при прогнозировании прибыли, построено на основе квартальных данных о прибыли на акцию. В своей обзорной статье Батке и Лорек (Bathke and Lorek, 1984) указали, что три модели временных рядов принесли пользу в предсказании квартальной прибыли на акцию. Все три модели являются сезонными авторегрессионными интегрированными моделями скользящего среднего (SARIMA), поскольку квартальные прибыли на акцию имеют сильный сезонный компонент. Первая модель, разработанная Фостером (Foster, 1977), учитывает сезонность в прибыли, что дает:

Данная модель была расширена Гриффином и Уоттсом с учетом параметра скользящего среднего:

Третья модель временных рядов, разработанная Брауном и Розеффом (Brown and Rozeff, 1979), аналогична в своем использовании параметра сезонного скользящего среднего:

Насколько хороши модели временных рядов в предсказании прибыли? Модели временных рядов более эффективны в предсказании прибыли на акцию в следующем квартале, чем простые модели (использующие историческую прибыль). Ошибка предсказания (т. е. разница между фактической и предсказанной прибылью на акцию), связанная с моделями временных рядов, в среднем меньше ошибки, связанной с простыми моделями (например, простыми средними прошлого роста). Превосходство этих моделей над простыми оценками уменьшается с увеличением долгосрочности предсказаний, что говорит о непостоянстве оцениваемых параметров временных рядов.

Не существует свидетельств тому, что одна из моделей временных рядов обладает преимуществом в смысле минимизации ошибки предсказания для каждой фирмы в выборке. Выигрыш от использования моделей, созданных специально для конкретной фирмы, по сравнению с моделями, которые применяются ко всем фирмам, относительно мал.

Ограничения, существующие при использовании в процессе оценки моделей временных рядов. При использовании моделей временных рядов в предсказании прибыли возникает несколько вопросов. Во-первых, модели временных рядов требуют многих данных, и именно поэтому большинство из них строится на основе квартальной прибыли на акцию. В большинстве оценок главное внимание уделяется предсказанию годовой прибыли на акцию, а не квартальной прибыли. Во-вторых, даже в случае квартальной прибыли на акцию число наблюдений в отношении большинства фирм ограничено данными за 15–20 лет (т. е. данными за 40–60 кварталов), что приводит к значительным ошибкам при оценке[85] – в параметрах модели временных рядов и в предположениях о будущем. В-третьих, превосходство предсказанной прибыли на основе моделей временных рядов уменьшается при увеличении периода оценки. Если учесть, что предсказания прибыли в процессе оценки должны делаться для нескольких лет, а не кварталов, то модели временных рядов, по всей вероятности, имеют ограниченную стоимость. Наконец, исследования показали, что предсказания аналитиков превосходят даже лучшие модели временных рядов для оценки будущей прибыли.

В заключение добавим, что применение моделей временных рядов, скорее всего, окажется наиболее успешным применительно к фирмам с длительной историей прибыли и там, где параметры моделей не сдвинуты существенно во времени. Однако по большей части издержки использования этих моделей, по всей вероятности, превысят их преимущества, по крайней мере в контексте оценки.

Использование исторического роста

Являются ли темпы роста хорошим индикатором роста в будущем? Не обязательно. В этом разделе мы рассмотрим, насколько успешно может служить исторический рост для прогноза будущего роста фирм и почему изменение размера и непредсказуемый бизнес многих фирм могут ухудшить прогнозы роста.

Беспорядочный рост. Прошлые темпы роста полезны для предсказания будущего роста, однако с ним связан значительный уровень шума. В своем исследовании связи между прошлыми и будущими темпами роста Литтл (Little, 1960) предложил термин «беспорядочный рост» (higgledy piggledy growth), поскольку он практически не нашел свидетельств в пользу того, что быстро растущие в одном периоде фирмы продолжали расти быстро и в следующем периоде. В процессе выведения ряда корреляций между темпами роста в следующие друг за другом периоды различной длины он часто обнаруживал отрицательную корреляцию между темпами роста в двух периодах, а средняя корреляция между двумя периодами оказалась близкой к нулю (0,02).

Если прошлый рост не является хорошим индикатором будущего роста для многих фирм, то для фирм небольших размеров он теряет свою силу еще в большей степени. Как правило, темпы роста небольших фирм более изменчивы по сравнению с другими фирмами на рынке. Корреляция между темпами роста прибыли в следующие друг за другом временные периоды (5 лет, 3 года и 1 год) для американских фирм, классифицированных согласно рыночной стоимости, представлена на рисунке 11.2.

Хотя корреляция, как правило, повсеместно выше для однолетних темпов роста прибыли, чем для трех– или пятилетних, они также соответственно ниже для небольших фирм, чем для остальной части рынка. Это должно свидетельствовать в пользу того, что при прогнозировании будущего роста этих фирм – с использованием роста в прошлом, особенно в отношении прибыли – следует проявлять осторожность.

Рост выручки В сравнении С ростом прибыли. Как правило, рост выручки более постоянен и предсказуем, чем рост прибыли. Это связано с тем, что решения в сфере отчетности оказывают значительно меньшее влияние на выручку, чем на прибыль. На рисунке 11.3 сравнивается корреляция роста выручки и прибыли за одно-, трех– и пятилетний периоды для фирм США. Рост выручки последовательно более сильно коррелирует во времени, чем рост прибыли. Практическое следствие этого заключается в том, что при решении задачи прогнозирования исторический рост выручки – гораздо более полезная величина, чем исторический рост прибыли.

Влияние размера фирмы. Поскольку темпы роста выражаются в процентах, при анализе должна учитываться роль размера фирмы. Фирме с прибылью 10 млн. долл. легче обеспечить 50 %-ный рост, чем фирме с прибылью 500 млн. долл. Поскольку с увеличением размеров фирмам становится труднее поддерживать высокие темпы роста, то для фирм, переживших быстрое увеличение, может оказаться трудной задачей в будущем поддерживать такие же темпы роста, как в прошлом. Хотя это является проблемой для всех фирм, особенно серьезным затруднением этот аспект становится при анализе небольших и растущих фирм. Хотя фундаментальные показатели таких фирм, включая менеджмент, продукцию и базовые рынки, могут и не меняться, но все же будет затруднительным удерживать на прежнем