Возвращаясь к квадрату и кубу, нетрудно видеть, что число вершин у построенной фигуры всякий раз оказывается вдвое больше, чем у производящей фигуры. Так, прямолинейный отрезок с двумя конечными точками («вершинами») порождает квадрат с четырьмя вершинами, а у куба число вершин достигает восьми. Следовательно, у четырехмерного аналога куба число вершин равно шестнадцати. Число ребер, или отрезков прямых, соединяющих вершины, можно подсчитать следующим образом. У квадрата четыре стороны («ребра»): две из них образуют производящий отрезок в начальном и конечном состоянии, две другие вычерчивают при движении концы производящего отрезка. У куба двенадцать ребер: восемь из них дает производящий квадрат в исходном и конечном положении, а остальные вычерчивают при движении вершины квадрата. Таким образом, число ребер у каждой фигуры равно удвоенному числу ребер у производящей фигуры плюс те ребра, которые порождают при своем движении вершины производящей фигуры. Следовательно, у четырехмерного аналога куба имеется 12 × 2 + 8 = 32 ребра. Итак, четырехмерный аналог куба ограничен восемью кубами, шестнадцатью вершинами и тридцатью двумя ребрами. Если ребро производящего куба имеет в длину 2 дюйма, то «объем» четырехмерного куба выразился бы числом 2⁴.

Сколь ни любопытными могут показаться приведенные выше геометрические утверждения, они меркнут в сравнении с теми драматическими последствиями, к которым приводит понятие четвертого измерения. Для существа, способного воспринимать лишь длину и ширину, прямая, проведенная нами на плоскости, стала бы столь же непреодолимым препятствием, каким служил бы для нас каменный забор, неограниченно простирающийся в высоту. Но это еще не все. Мы, трехмерные существа, можем дотронуться до любой части внутри плоской фигуры, не прикасаясь к ее границе. Представим себе, что на плоскости внутри некоторой замкнутой кривой находятся несколько двумерных существ. Каково бы было их изумление, если бы они узнали, что некие высшие существа обладают способностью проникать сквозь любое известное им ограждение, даже не прикасаясь к нему! Нечто аналогичное можно представить себе и в нашем мире. Предположим, что существо A, запертое в герметически закрытом бронированном сейфе, внезапно обнаруживает рядом с собой некое существо B, спустившееся из четвертого измерения.

Из приведенных выше соображений ясно, что если бы мы обладали способностью перемещаться в четвертом измерении, то могли бы без труда съесть мякоть плода, оставив в неприкосновенности его кожуру, или полакомиться орехом, не разбив его скорлупы. Нам не понадобились бы окна и двери для доступа света и сообщения с внешним миром: четвертое измерение лишило бы былой эффективности стены, пол и потолок, ограждающие наше жилище от внешнего мира.

Развитие наших органов чувств происходит очень медленно и, согласно теории эволюции, зависит от того, в какой мере мы пользуемся ими. Поэтому мы вправе утверждать, что сейчас подошли неизмеримо ближе к восприятию четвертого измерения, чем при возникновении этого понятия.

Отсюда мы заключаем, что и четырехмерный аналог куба можно построить, переместив куб на расстояние, равное длине любого из его ребер, в направлении, перпендикулярном всем ребрам производящего куба. Нашему разуму это направление представляется столь же чуждым и странным, как высота — существу, обитающему в двумерном мире.

При движении отрезка прямой, заметающего квадрат, число границ вновь построенного квадрата было равно удвоенному числу отрезков (исходный отрезок плюс отрезок в конечном положении) плюс два отрезка, порожденные при движении концами исходного отрезка. Аналогично в число граней куба следует включить два квадрата (производящий квадрат в исходном и в конечном положении) плюс четыре квадрата, порожденных при движении четырьмя сторонами исходного квадрата. Отсюда ясно, что в число кубов, ограничивающих четырехмерный аналог куба, должны входить два куба (производящий куб в исходном и в конечном положении) плюс шесть кубов, порожденных при движении гранями исходного куба, то есть всего восемь кубов.

Возвращаясь к квадрату и кубу, нетрудно видеть, что число вершин у построенной фигуры всякий раз оказывается вдвое больше, чем у производящей фигуры. Так, прямолинейный отрезок с двумя конечными точками («вершинами») порождает квадрат с четырьмя вершинами, а у куба число вершин достигает восьми. Следовательно, у четырехмерного аналога куба число вершин равно шестнадцати. Число ребер, или отрезков прямых, соединяющих вершины, можно подсчитать следующим образом. У квадрата четыре стороны («ребра»): две из них образуют производящий отрезок в начальном и конечном состоянии, две другие вычерчивают при движении концы производящего отрезка. У куба двенадцать ребер: восемь из них дает производящий квадрат в исходном и конечном положении, а остальные вычерчивают при движении вершины квадрата. Таким образом, число ребер у каждой фигуры равно удвоенному числу ребер у производящей фигуры плюс те ребра, которые порождают при своем движении вершины производящей фигуры. Следовательно, у четырехмерного аналога куба имеется 12 × 2 + 8 = 32 ребра. Итак, четырехмерный аналог куба ограничен восемью кубами, шестнадцатью вершинами и тридцатью двумя ребрами. Если ребро производящего куба имеет в длину 2 дюйма, то «объем» четырехмерного куба выразился бы числом 2⁴.

Сколь ни любопытными могут показаться приведенные выше геометрические утверждения, они меркнут в сравнении с теми драматическими последствиями, к которым приводит понятие четвертого измерения. Для существа, способного воспринимать лишь длину и ширину, прямая, проведенная нами на плоскости, стала бы столь же непреодолимым препятствием, каким служил бы для нас каменный забор, неограниченно простирающийся в высоту. Но это еще не все. Мы, трехмерные существа, можем дотронуться до любой части внутри плоской фигуры, не прикасаясь к ее границе. Представим себе, что на плоскости внутри некоторой замкнутой кривой находятся несколько двумерных существ. Каково бы было их изумление, если бы они узнали, что некие высшие существа обладают способностью проникать сквозь любое известное им ограждение, даже не прикасаясь к нему! Нечто аналогичное можно представить себе и в нашем мире. Предположим, что существо A, запертое в герметически закрытом бронированном сейфе, внезапно обнаруживает рядом с собой некое существо B, спустившееся из четвертого измерения.

Из приведенных выше соображений ясно, что если бы мы обладали способностью перемещаться в четвертом измерении, то могли бы без труда съесть мякоть плода, оставив в неприкосновенности его кожуру, или полакомиться орехом, не разбив его скорлупы. Нам не понадобились бы окна и двери для доступа света и сообщения с внешним миром: четвертое измерение лишило бы былой эффективности стены, пол и потолок, ограждающие наше жилище от внешнего мира.

Развитие наших органов чувств происходит очень медленно и, согласно теории эволюции, зависит от того, в какой мере мы пользуемся ими. Поэтому мы вправе утверждать, что сейчас подошли неизмеримо ближе к восприятию четвертого измерения, чем при возникновении этого понятия.