Эта задача была решена следующим образом. Птолемей выбрал три лунных затмения, которые наблюдались вавилонскими астрономами в VIII веке до нашей эры, причем интервал между ними составлял от полугода до полутора лет. Поскольку затмения происходят лишь в новолуния (в интервалы кратные 29,53 суток), то можно было быть уверенным — за столь короткий период времени Луна находилась в различных точках на эпицикле (оборот на нем совершается за 27,554 суток, и совпадение синодических и аномалистических положений происходит каждые 384,22 дня). Моменты затмений были зафиксированы достаточно точно, и Птолемей без труда вычислил для них необходимое положение Луны по своим солнечным таблицам, однако таблицы среднего движения Луны (то есть положения центра эпицикла C) давали несколько иные координаты. Эти отличия (а также виртуозное владение теоремами Евклида) как раз и позволили определить соотношение Rε/RD = 0,087 (на самом деле оно записывалось в шестидесятеричной системе как 5’13’’ к 60’). Далее Птолемей берет уже собственные наблюдения лунных затмений, выполненные спустя 850 лет после вавилонских, и для них получает отношение Rε к RD равное 5’14’’ к 60’. Точность оказалась настолько высокой, что необходимая поправка к ранее принятому движению Луны на эпицикле составила 1/300 угловой секунды за сутки (для устранения расхождения в 17’’ за 854 года).

Для уточнения периода обращения узлов лунной орбиты Птолемей выбрал два одинаковых затмения, с разницей в 615 лет и 134 дня (одно наблюдалось в Вавилоне, а другое в Александрии). Полученное значение драконического месяца (периода времени, за который Луна вновь проходит через один и тот же узел своей орбиты) составило 27,212 суток (и это очень точное значение), что меньше звездного месяца, поскольку узлы орбиты движутся навстречу Луне. В данном случае старое решение Гиппарха потребовалось уточнить лишь на 1/450 угловой секунды смещения по широте в сутки.

Лунная теория у Птолемея. Вторая итерация. Квадратуры. Эвекция

Поскольку описанная модель строилась по лунным затмениям, то она очень хорошо работала именно в сизигиях, то есть в таких положениях, когда Земля, Луна и Солнце выстраиваются в одну линию (или близко к этому, поскольку плоскости орбит Земли и Луны не совпадают). Именно в сизигиях происходят новолуния и полнолуния, а значит и затмения, но при других положениях Луны система из деферента и эпицикла требовала серьезных уточнений. Это понимал уже Гиппарх, который начал проводить соответствующие наблюдения, но не сумел или не успел разобраться в вопросе до конца. Птолемей же отыскал решение и здесь.

Выяснилось, что наибольшую ошибку модель с эпициклом дает в квадратурах, то есть тогда, когда отрезки, соединяющие Землю с Луной и Солнцем (на схеме ниже обозначены соответственно точками T, L и S), расположены под прямым углом. Но даже здесь всё оказалось не так просто, ведь погрешность не оставалась постоянной каждую квадратуру: иногда ее не было вовсе, а порой она достигала целых 2°39′ (это более чем пять угловых размеров лунного диска, причем на весь эпицикл приходится всего лишь около 10°). В конце концов, подробный анализ показал Птолемею следующее. Если Луна находилась в квадратуре и одновременно в апогее или перигее эпицикла (точки T, C и L выстраивались на одной прямой), то теория Гиппарха отлично совпадала с наблюдениями. Если же в момент квадратуры отклонение на эпицикле, напротив, оказывалось максимальным (точки T, C и L располагались под прямым углом), то и ошибка принимала наибольшее значение. Поясним сказанное на чертеже.

Пусть Земля T расположена в центре лунного деферента D, по которому движется эпицикл ε, причем центр эпицикла C всегда расположен на деференте. И эпицикл, и деферент оборачиваются за одинаковое время, но в противоположных направлениях (незначительной разницей периодов пока пренебрежем). В таком случае, как мы уже убедились ранее, траектория Луны L будет представлять собой круг, равный деференту D, но смещенный относительно точки T на величину эксцентра, равную радиусу эпицикла (на чертеже показан штрихпунктирной линией). Сразу оговоримся, что все построения выполнены нами не в масштабе, поскольку вычисленный Птолемеем размер эпицикла оказался достаточно малым, и сделать корректный и одновременно наглядный рисунок оказалось бы затруднительно.

Также назначим Солнцу S круговое движение вокруг Земли. В данном случае мы пренебрегаем тем, что у Птолемея оно движется по эксцентричной траектории, а сам солнечный круг на 5° наклонен по отношению к лунной орбите, и потому должен проецироваться на нее в форме эллипса. Все перечисленные погрешности никак не повлияют на дальнейшее изложение, тем более что они в любом случае невелики.

Допустим, что в начальный момент Луна находится в положении L1, то есть в апогее эпицикла (C1 лежит на прямой T-L1), а солнце в этот же момент расположено в точке S. Поскольку T-L1-S лежат на одной прямой, то с Земли наблюдается новолуние, то есть сизигия. Далее, когда центр эпицикла переместится в точку C2, Луна окажется в положении L2 и окажется в квадратуре (на самом деле угол L2-T-S несколько меньше прямого, но из-за малости эпицикла почти равен ему, хотя, разумеется, истинная квадратура произойдет несколько в ином месте траектории, и Птолемей определял ее верно). Поскольку для земного наблюдателя Луна в положении L2 максимально отклонена от центра эпицикла C2, то именно в этом случае возникает максимальное расхождение с теорией Гиппарха, поскольку на самом деле Луна наблюдается на небе в точке L2’.

После того, как эпицикл уйдет из точки C2 и пройдет через точку C3 и C4, а затем вернется в точку C5, которая совпадает с изначальным положением C1, то Луна окажется в точке L5, которая совпадет с точкой L1 (на самом деле L1 и L5 не совсем совпадут из-за некоторого отличия периодов на деференте и на эпицикле). Полный оборот занял 27,554 суток, однако повторного новолуния в точке L5 не произойдет, ведь всё это время Солнце тоже двигалось по своей орбите (иными словами, для абсолютной точности все уже проделанные нами построения требуют еще некоторых корректировок на движение точки S, которые делал Птолемей, но не станем сейчас производить мы). Как уже говорилось ранее, Луна повторно нагонит Солнце лишь через 29,53 суток, когда оно переместится в положение S1, поэтому в момент новой сизигии точка L6 уже не будет находиться в апогее своего эпицикла. Аналогично, в следующую квадратуру Луна L7 окажется для земного наблюдателя мало удалена от центра эпицикла C7, а потому и несоответствие с теорией Гиппарха уменьшится.

Указанное расхождение