Пусть Венера V расположена на эпицикле ε, движущемуся по деференту D, центр которого E не совпадает с Землей T. Мы помним, что центр эпицикла всегда расположен на прямой Земля-Солнце. Из двух симметричных наблюдений Венеры, обозначенных на чертеже как VP и VP’, когда она была сильнее всего удалена от Солнца, легко провести линию апсид A-P для деферента D. Поскольку радиус эпицикла принят постоянным, то максимальный угол элонгации означает, что центр эпицикла P в этот момент расположен ближе всего к Земле, а точка P является перигеем. В таком случае Земля T расположена где-то между точек E и P. Долгота апогея Венеры составила 55°, а перигея, соответственно — 235°.

Очевидно, что точка P совпадает с видимым положением Солнца в моменты наблюдений VP и VP’ (в действительности их произвели с интервалом в 8 лет). Теперь необходимо дождаться, когда Солнце будет располагаться в точке A, то есть с противоположной стороны от P, и отметить угол самой большой элонгации Венеры VA в апогее. Сделать это не так просто, как может показаться, поскольку точки A и P, во-первых, разделены половиной года, а, во-вторых, из-за несогласованности периодов на деференте и эпицикле (разной продолжительности года на Земле и на Венере) иногда оказывается так, что в окрестностях апогея и перигея Венера почти не удаляется от Солнца. Кроме того Венеру можно наблюдать лишь утром и вечером (далеко не каждый раз), а погода при этом должна быть ясной. Так или иначе, но Птолемей установил, что максимальное значение угла ATVA = 444/5°, а угла PTVP = 471/3°.

Далее необходимо воспользоваться несложными геометрическими соображениями. Поскольку в точках VA и VP Венера наблюдается под максимальным углом от центра эпицикла, то отрезки TVA и TVP должны быть касательными к своим эпициклам. Поскольку касательные всегда перпендикулярны радиусам, проведенным к точке касания, то треугольники ATVA и PTVP являются прямоугольными. Кроме того, AVA = PVP, ведь эпицикл не меняет своих размеров, а PT+TA = 2·EA, что видно из построения. Воспользовавшись теперь тригонометрическими таблицами можно установить, что AVA/EA = Rε/RD = 0,7194, а эксцентриситет составляет ET/EA = ET/RD = 0,021 (столь малое отклонение практически невозможно отобразить на чертеже без потери его наглядности, поэтому точку T мы поместили не в масштабе).

Для других планет использован аналогичный принцип определения отношения Rε/RD и величины эксцентриситета ET, а вычисленные Птолемеем значения приведены в таблице ниже.

Уточнение первого неравенства в движении планет. Эквант

К сожалению, наблюдения показывали, что простое равномерное перемещение эпицикла по эксцентрическому деференту не в полной мере объясняет первое неравенство в движении планет. Кроме неравномерной скорости перемещений по эклиптике наблюдались также различия в ширине ретроградных дуг и угловых расстояниях между ними. Так, например, для Марса их величина вблизи перигея и апогея отличается вдвое, что наглядно показано на соответствующей схеме, где заштрихованные сектора соответствуют положению и ширине видимых дуг попятного движения в различные годы. Данный эффект легко понять, если взглянуть на реальные эллиптические орбиты Земли и Марса: видно, что в моменты противостояний (когда и возникают ретроградные движения) расстояние между двумя планетами могут отличаться практически вдвое.

Чтобы исправить данное несоответствие Птолемей воспользовался тем же средством, которое уже помогло ему при работе над лунной теорией — эквантом, — однако придал ему несколько иной геометрический смысл. В моделях движения планет эквант W лежит на линии апсид A-P, но располагается еще дальше от Земли Т, чем эксцентр E. Именно эквант является центром равномерного движения эпицикла на деференте. Иными словами центр эпицикла C движется по деференту D таким образом, что отрезок WC за равные промежутки времени поворачивается вокруг точки W на одинаковые углы.

Из чертежа очевидно, что теперь за одно и то же время центр эпицикла проходит различные дуги на деференте — ближе к апогею точка C замедляется, а у перигея ее скорость существенно возрастает. Данное физическое неравенство линейных скоростей дополнительно усиливается тем, что ускорение эпицикла происходит ближе к Земле, а потому наблюдаемая угловая скорость около перигея окажется еще выше (а у апогея, наоборот, еще сильнее уменьшится). Исходя из разницы в ширине ретроградных дуг Марса, а также сравнив наибольшие элонгации Венеры к западу и к востоку от Солнца, Птолемей заключил, что ET = EW, то есть точка E делит полный эксцентриситет TW ровно пополам, и это правило получило название бисекции эксцентриситета.

Модели с эквантом давали уже вполне хорошее соответствие наблюдениям, однако, строго говоря, движение планет на деферентах переставало быть равномерным, что противоречило любым античным представлениям об устройстве космоса.

Теория движения Меркурия у Птолемея

Всего сказанного оказалось недостаточно при описании движения Меркурия, для которого Птолемей ввел еще один промежуточный эксцентр F. Если принять Землю в точке T, а эквант в точке W, то по уже известному правилу бисекции эксцентриситета имеем TW = WF = 0,05·RD = 1/20RD. Точка F, однако же, не связана непосредственно с деферентом D, центр которого E обращается вокруг F за период TD = 1 году, но в направлении противоположном вращению деферента. Радиус FE = 1/21RD, а скорости вращений согласованы так, что всегда соблюдается равенство угла AFE и угла AWC. Чтобы скомпенсировать обратное годовое вращение точки Е, скорость обращения самого деферента должна быть увеличена вдвое, то есть его период будет равен TD/2, и тогда с Земли будет визуально казаться, что он движется с периодом TD, совершая один оборот за год. Точка A лежит на прямой T-W-F и является апогеем деферента, а точка C это центр эпицикла. В моменты, когда точка C совпадает с A (на схеме это состояние показано пунктирными линиями, соответствующими положению деферента D’ и эпицикла ε’), Меркурий не всегда попадает строго в положение M’ поскольку периоды его обращения на деференте и на эпицикле не согласованы (TD/Tε = 365,25/88 = 4,15).

Таким образом, получается, что эквант W является центром равномерного вращения (аномалия на эпицикле отсчитывается от точки a лежащей на прямой WC), эксцентр E является центром равных расстояний (радиус деферента EC